x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Τσιαλας Νικολαος · #1

Δεν υπάρχει πουθενά λύση. Δεν το βρήκαμε κανείς.

Βρείτε όλους τους (x,y,z) τέτοιοι ώστε

$\left.\begin{matrix} xy+yz+zx=12 & \\ xyz=2+x+y+z & \end{matrix}\right\}$

με $x,y\in \mathbb{R^+}$

(United Kingdom 1998)

Τσιαλας Νικολαος · #2

Τελικά το έλυσα!! Το αφήνω γιατί είναι πολύ ωραία άσκηση!!

#3

Ας είναι $\displaystyle{a=x+y+z>0.}$

$\displaystyle{\bullet ~(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)\implies 12^2\geq 3a(2+a)\implies a^2+2a-48\leq 0\stackrel{a>0}{\implies }a\leq 6.}$

$\displaystyle{\bullet~ x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\implies a\geq 3\sqrt[3]{a+2}\implies a^3-27a-54\geq 0 \stackrel{a>0}{\implies }a\geq 6.}$

Επομένως $\displaystyle{a=6}$ και ισχύει παντού ισότητα. Άρα $\displaystyle{x=y=z\implies x=y=z=2.}$

#4

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Παρ Φεβ 23, 2018 2:59 pm Δεν υπάρχει πουθενά λύση. Δεν το βρήκαμε κανείς.

Βρείτε όλους τους (x,y,z) τέτοιοι ώστε

$\left.\begin{matrix} xy+yz+zx=12 & \\ xyz=2+x+y+z & \end{matrix}\right\}$

με $x,y\in \mathbb{R^+}$

(United Kingdom 1998)

Ακόμα μια λύση:

Από την συνθήκη $\displaystyle{xyz=2+x+y+z}$ προκύπτει ότι υπάρχουν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ ώστε $\displaystyle{x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c},}$ οπότε η πρώτη συνθήκη γίνεται

$\displaystyle{\sum \frac{(a+b)(a+c)}{bc}=12\implies \sum a(a+b)(a+c)=12abc\implies (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=9abc.}$

Αυτή είναι η περίπτωση της ισότητας στην $\displaystyle{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 9abc,}$ η οποία προκύπτει από τις $\displaystyle{a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc},a^2+b^2+c^2\geq 3\sqrt[3]{abc}^2}$ .

Άρα $\displaystyle{a=b=c,}$ οπότε $\displaystyle{x=y=z=2.}$

Τσιαλας Νικολαος · #5

Όπως πάντα τρομερός!!!

Τροβαδούρος · #6

matha έγραψε: Παρ Φεβ 23, 2018 4:44 pm Από την συνθήκη $\displaystyle{xyz=2+x+y+z}$ προκύπτει ότι υπάρχουν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ ώστε $\displaystyle{x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c},}$

Θα μπορούσατε να εξηγήσετε πώς προκείπτει το παραπάνω;

#7

$\displaystyle{xyz=2+x+y+z\implies \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1,}$

οπότε αν τεθεί

$\displaystyle{a=\frac{1}{1+x},b=\frac{1}{1+y},c=\frac{1}{1+z},}$ είναι $\displaystyle{a+b+c=1}$

και $\displaystyle{x=\frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}}$ και όμοια για τα $\displaystyle{b,c.}$

x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Re: x,y,z θετικοί πραγματικοί χωρίς λύση

Μέλη σε σύνδεση