Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

ΗρακληςΕυαγγελινος
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τετ Ιαν 29, 2014 12:14 pm

Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΗρακληςΕυαγγελινος » Κυρ Φεβ 25, 2018 5:34 pm

Με τον συνάδελφο Ευριπίδη Κασσέτα επιλέξαμε τις παρακάτω ασκήσεις:

1) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle{10y^2+2xy+x+y-2=0} (1)

2) Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

\displaystyle{3y^2-6xy+12x-7y+2=0}(1)

3) Να βρεθούν οι τιμές του x \in Z, για τις οποίες η παράσταση x^2+6x γίνεται τετράγωνο ακεραίου.

4) Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων λύσεων της εξίσωσης:

xy+\frac{x(x+1)}{2}=17(1)

5) Να βρεθούν οι x,y\in Z που πληρούν την 1664y^3=351x^7(1)

6) Να βρεθεί το έτος γεννήσεως ενός ανθρώπου, αν γνωρίζουμε ότι το έτος 1896 είχε ηλικία ίση με το άθροισμα των ψηφίων του έτους της γέννησής του.

7) Κάποιος με 40 ευρώ ακριβώς αγόρασε 40 εισιτήρια τριών κατηγοριών: του μισού ευρώ, των δύο ευρώ και των τεσσάρων ευρώ. Να βρείτε πόσα εισιτήρια αγόρασε από κάθε κατηγορία.
τελευταία επεξεργασία από matha σε Κυρ Φεβ 25, 2018 5:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αλλαγή φακέλου.



Λέξεις Κλειδιά:
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 10, 2019 10:29 pm

Για την 1

10y^2+2xy+x+y-2=0\Leftrightarrow 10y^2+y\left ( 2x+1 \right )+x-2=0

Είναι \Delta =\beta ^2-4\alpha \gamma =\left ( 2x+1 \right )^2-4\cdot 10\cdot \left ( x-2 \right )=4x^2+4x+1-40x+80=4x^2-36x+81=\left ( 2x-9 \right )^2
Οπότε y_{1,2}=\dfrac{-2x-1\pm \left ( 2x-9 \right )}{2\cdot 10}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & y_1=\dfrac{-2x-1+2x-9}{20}=\dfrac{-10}{20}\notin \mathbb{Z} & \\ \\ & y_2=\dfrac{-2x-1-2x+9}{20}=\dfrac{-4x+8}{20}=\dfrac{2-x}{5} & \end{matrix}\right.
Οπότε δεκτή η y_2. Έστω y=k,k\in \mathbb{Z}
\dfrac{2-x}{5}=k\Leftrightarrow x=2-5k
Άρα λύσεις \left ( y,x \right )=\left ( k,2-5k \right )


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 10, 2019 10:50 pm

Για την 2

Είναι

3y^2-6xy+12x-7y+2=0\Leftrightarrow 3y^2-y\left ( 6x+7 \right )+\left ( 12x+2 \right )

\Delta =\left ( 6x+7 \right )^2-4\cdot 3\cdot \left ( 12x+2 \right )=36x^2+84x+49-144x-24=36x^2-60x+25\left =( 6x-5 \right )^2
Οπότε
y_{1,2}=\dfrac{6x+7\pm \left ( 6x-5 \right )}{2\cdot 3}=\left\{\begin{matrix} &y_1=\dfrac{6x+7+6x-5}{6}=\dfrac{12x+2}{6}=2x+\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z} & \\ \\ & y_2=\dfrac{6x+7-6x+5}{6}=\dfrac{12}{6}=2 & \end{matrix}\right.
Άρα y=2,x\in \mathbb{Z}


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Κυρ Μαρ 10, 2019 11:55 pm

Για την 3

Έστω x^2+6x=k^2,k\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow x^2+6x-k^2=0
\Delta =36+4k^2=4\left ( 9+k^2 \right )

Άρα x=\dfrac{-6\pm 2\sqrt{9+k^2}}{2}=-3\pm \sqrt{9+k^2}

Για να είναι x\in Z πρέπει 9+k^2=l^2,l\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 9=\left ( l-k \right )\left ( l+k \right )\Leftrightarrow l-k,l+k\in \left \{ -1,-3,-9,1,3,9 \right \}

Για l-k=-1 είναι l+k=-9 άρα 2l=-10\Leftrightarrow l=-5
x=-3\pm l=-3\pm 5\Leftrightarrow x_1=2,x_2=-8

Για l-k=-3 είναι l+k=-3 άρα 2l=-6\Leftrightarrow l=-3
x=-3\pm(-3)\Leftrightarrow x_3=0,x_4=-6

Για l-k=-9 αναγόμαστε στην πρώτη περίπτωση.
Για l-k=1 αναγόμαστε πάλι στην πρώτη κλπ.
Τελικά λύσεις οι x=0,2,-8,-6.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 11:23 am

Για την 4

Είναι xy+\dfrac{x\left ( x+1 \right )}{2}=17\Leftrightarrow x^2+x+2xy=34\Leftrightarrow x^2+x\left ( 2y+1 \right )-34=0

\Delta =\left ( 2y+1 \right )^2+136

Eίναι x=\dfrac{-2y-1\pm \sqrt{\left ( 2y+1 \right )^2+136}}{2}
Eπειδή όμως x\in \mathbb{Z} και -2y-1\equiv 1(mod2) πρέπει \left ( 2y+1 \right )^2+136=k^2,k\in \mathbb{Z},k\equiv 1(mod2)

Παίρνουμε \left (2y+1 \right )^2+136=k^2\Leftrightarrow -136=\left ( 2y+1-k \right )\left ( 2y+1+k \right )\Leftrightarrow 2y+1-k,2y+1+k\in \left \{ -136,-68,-34,-17,-1,1,17,34,68,13 4 \right \}

Για 2y+1-k=-136 είναι 2y+1+k=1 άρα 4y+2=-137\Leftrightarrow 0\equiv 1(mod2) άτοπο.
Για 2y+1-k=-68 είναι 2y+1+k=2 άρα 4y+2=-66\Leftrightarrow y=-17
Για 2y+1-k=-34 είναι 2y+1+k=4 άρα  4y+2=-30\Leftrightarrow y=-8
Για 2y+1-k=-17 είναι 2y+1+k=8 άρα 4y+2=-9 άτοπο.
Oι υπόλοιπες περιπτώσεις ανάγονται στις παραπάνω.

Για y=-17 είναι x_{1,2}=\dfrac{-2\cdot \left ( -17 \right )-1\pm \sqrt{ \left (2\cdot \left ( -17 \right ) +1 \right )^2+136 }}{2}=\dfrac{33\pm35 }{2}\Leftrightarrow x_1=34,x_2=-1
Για y=-8 είναι x_{3,4}=\dfrac{15\pm19 }{2}\Leftrightarrow x_3=17,x_4=-2

Άρα έχουμε τα ζεύγη (x,y)= \left ( 34,-17 \right ),\left ( -1,-17 \right ),\left ( 17,-8 \right ),\left ( -2,-8 \right )


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 12:25 pm

Για την 5

Είναι

1664y^3=351x^7\Leftrightarrow 13\cdot 2^7y^3=13\cdot 3^3 x^7\Leftrightarrow 2^7y^3=3^3x^7

Έχουμε 2^7y^3\equiv 3^3x^7(mod2\Leftrightarrow x\equiv 0(mod2) έστω x=2k,k\in \mathbb{Z}
και 2^7y^3\equiv 3^3x^7(mod3)\Leftrightarrow y\equiv 0(mod3) έστω y=3m,m\in \mathbb{Z}

Άρα η σχέση γίνεται 2^7\left ( 3m \right )^3=3^3\left ( 2k \right )^7\Leftrightarrow m ^3=k^7

Άρα k=\sqrt[7]{m^3} πρέπει m=l^{7n},l\in Z,n\in \mathbb{N}

k=\sqrt[7]{\left ( l^{7n} \right )^3}=l^{3n}

Oπότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη της μορφής \left ( x,y \right )=\left ( 2k,3m \right )=\left ( 2\cdot l^{3n} ,3\cdot l^{7n}\right )


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 12:50 pm

Για την 6

Έστω το έτος ηλικίας του \overline{abcd},a\neq 0
Το έτος 1896 θα έχει ηλικία 1896-\overline{abcd}

Άρα έχουμε την εξίσωση 1896-\left ( 1000a+100b+10c+d \right )=a+b+c+d\Leftrightarrow 1001a+101b+11c+2d=1896

Για a\geq 2 θα είναι πάντα 1001a+101b+11c+2d>1896 αφού a,b,c,d θετικοί.

Άρα a=1(άμεσο και από την αρχή).

Αντικαθιστούμε 101b+11c+2d=1896-1001=895
Για b=9 θα είναι πάντα 101b+11c+2d>895
Για b<8 θα είναι πάντα 101b+11c+2d<895
Άρα b=8(και αυτό άμεσο εξ'αρχής)

Αντικαθιστούμε 11c+2d=895-808=87
Για c=8,9 θα είναι 11c+2d>87
Για c<7 είναι 11c+2d<87

Άρα c=7,d=5

Άρα το έτος γεννήσεως είναι το 1875.


ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 285
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μαρ 11, 2019 1:09 pm

Για την 7

Έστω ότι αγόρασε a του μισού ,b των 2 και c των 4.

Θα είναι
\left\{\begin{matrix} & a+b+c=40 & \\ &\dfrac{a}{2}+2b+4c=40 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}+2b+4c=a+b+c\Leftrightarrow \dfrac{a}{2}=b+3c\Leftrightarrow a=2b+6c

Aντικαθιστούμε a+b+c=40\Leftrightarrow 2b+6c+b+c=40\Leftrightarrow 3b+7c=40\Leftrightarrow b=\dfrac{40-7c}{3}

Για να είναι b\in \mathbb{N} πρέπει c<6 και 40-7c\equiv 0(mod3)\Leftrightarrow c\equiv 1(mod3)\Leftrightarrow c=1,4
  • Για c=1 είναι b=11 και a=22+6=28 άρα \left ( a,b,c \right )=\left ( 28,11,1 \right)
  • Για c=4 είναι b=4 και a=8+24=32 άρα \left ( a,b,c \right )=\left ( 32,4,4 \right)


Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Ασκήσεις και προβλήματα στην απροσδιόριστη ανάλυση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Δευ Μαρ 11, 2019 1:15 pm

Για το 6ο:

Προφανώς το έτος γέννησης είναι 4-ψήφιος, έστω {\overline{xyzw}}.
Έχουμε ότι (max)x+y+z+w=36 , άρα δεν μπορεί να γεννήθηκε πριν το 1860.

Ελέγχουμε τώρα ανά δεκαετία τις ηλικίες:
1)1+8+6+a=15+a, οπότε 15\leq A\leq 24
2)1+8+7+b=16+b, οπότε 16\leq A\leq 25
3)1+8+8+c=17+c, οπότε 17\leq A\leq 26
4)1+8+9+d=18+d, οπότε 18\leq A\leq 24
Όμως 1896-1860=36 και 1896-1869=27 άρα 27\leq A\leq 36, όπου σε συνδιασμό με την παραπάνω διαπίστωση, δεν μπορεί να γεννήθηκε σε αυτήν τη δεκαετία.
Δουλεύουμε όμοια και στις υπόλοιπες περιπτώσεις παίρνουμε ότι μόνο στην 2η δεκαετία μπορεί να έχει γεννηθεί και 17\leq A\leq 25
Ελέγχοντας λοιπόν τις τιμές αυτές λαμβάνουμε ότι μπορεί να γεννήθηκε μόνο το 1875.


A=age


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γενικά - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες