Tο έγκεντρο δίνει λόγο

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαιρετώ.

: 19-3-18 Λόγος .. τριγωνομετρικός..PNG (7.17 KiB) Προβλήθηκε 918 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι $\widehat{BAC}=60^{0}$ . Οι διχοτόμοι του BD,CE

τέμνονται στο

.

Το $K \in BC$ έτσι ώστε $AK \perp ED$ . Αν είναι $\widehat{BEK} =30^{0}$ τότε :

Να εξεταστεί αν ο λόγος $\dfrac{\left ( DEI \right )}{\left ( AEK \right )}$ είναι ...τριγωνομετρικός.
Ευχαριστώ , Γιώργος.

#2

: Το έγκεντρο φέρνει λόγο.png (41.06 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

Επειδή $\widehat {BEK} = 30^\circ$ αναγκάζεται το $\vartriangle ABC$ να είναι ορθογώνιο στο

. (σαν λήμμα που θα αποδείξω αργότερα).

$\boxed{\frac{{(DEI)}}{{(AEK)}} = \frac{{ID \cdot IE\sin 120^\circ }}{{EA \cdot EK\sin 150^\circ }} = \frac{{I{K^2}}}{{E{K^2}}} \cdot \frac{{\sin 120^\circ }}{{\sin 150^\circ }} = \frac{1}{2}\sqrt 3 }$

Το λήμμα

: Λήμμα _Γιώργου_Μήτσιου.png (43.33 KiB) Προβλήθηκε 813 φορές

Το τετράπλευρο AEID

είναι εγγράψιμο και το ισοσκελές τρίγωνο IED

είναι της μορφής $(120^\circ ,30^\circ ,30^\circ )$ .

Αφού $ED \bot AK \Rightarrow \widehat {TZI} = 60^\circ$ και άρα το τρίγωνο TZI

είναι ισόπλευρο .

Στο τρίγωνο AZC

: $60^\circ = \widehat {TZC} = \widehat {ZAC} + \dfrac{{\widehat C}}{2}$ ( εξωτερική γωνία τριγώνου)

Άρα $\widehat \theta + \widehat {ZAC} = \widehat {ZAC} + \dfrac{{\widehat C}}{2} \Rightarrow \widehat \theta = \dfrac{{\widehat C}}{2} = \widehat {ECB}$ Μα τότε το τετράπλευρο AEKC

είναι

εγγράψιμο οπότε $\widehat {BEK} = \widehat C \Rightarrow \widehat C = 30^\circ$ και άρα το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο στο

.

Γιώργος Μήτσιος · #3

Χαιρετώ. Ευχαριστώ θερμά τον Νίκο για την πλήρη κάλυψη του θέματος!

Ας δείξω (με παρόμοια προσέγγιση ) , μόνο την σχέση $\widehat{C}=\widehat{BEK}$ , που ισχύει χωρίς να δίνεται $\widehat{BEK}=30^{0}$ .

: 27-3-18 Το έγκεντρο δίνει λόγο.PNG (7.39 KiB) Προβλήθηκε 796 φορές

Είναι $\widehat{EID}=\widehat{BIC}=90^{0}+\widehat{A}/2=120^{0}$ άρα AEID

εγγράψιμο. Θ.δ.ο τα A,E,K,C

είναι ομοκυκλικά.

Έχουμε $\widehat{AEC}=120^{0}-\widehat{C}/2$ .. (1)

. Ακόμη $\widehat{AED}=\widehat{AID}=\dfrac{\widehat{B}}{2}+30^{0}$ οπότε
$\widehat{AKC}=\widehat{B}+\widehat{BAK}=\widehat{B}+90^{0}-\widehat{AED}}= \dfrac{\widehat{B}}{2}+60^{0}$ .. (2)

Αρκεί $\widehat{AEC}=\widehat{AKC} \Leftrightarrow 120^{0}-\widehat{C}/2=\dfrac{\widehat{B}}{2}+60^{0}$ $\Leftrightarrow \widehat{B}+\widehat{C}=120^{0}$ , που ισχύει.

Έτσι AE=EK

και $\widehat{C}=2\widehat{BAK}=\widehat{BEK}$ .. Φιλικά Γιώργος.

Tο έγκεντρο δίνει λόγο

Tο έγκεντρο δίνει λόγο

Re: Tο έγκεντρο δίνει λόγο

Re: Tο έγκεντρο δίνει λόγο

Μέλη σε σύνδεση