Aριθμητική πρόοδος;;;

#1

Δίνονται οι αριθμοί : $\displaystyle{\displaystyle \sqrt 2 ,\sqrt 5 ,\sqrt 7 }$ . Θα μπορούσαν αυτοί να αποτελούν όρους (οποιασδήποτε τάξης) της ίδιας αριθμητικής πρόοδου;;

mathxl · #2

Χρησιμοποιώντας τον τύπο α(ν)=α(1)+(ν-1)ω και για τους τρεις, βρίσκουμε, με αφαίρεση κατα μέλη δύο σχέσεων από τις παραπάνω, ότι η διαφορά δύο φυσικών είναι άρρητος, άτοπο

mathxl · #3

Ύστερα από προσωπικό μήνυμα που δέχτηκα από τον Χρήστο βλέπω ότι η απόδειξη μου είναι ατελής. (θεώτησα το άτοπο προφανές)
Έστω ότι η διαφορά δύο άρρητων από τους παραπάνω, δίνει αποτέλεσμα κάποιον ακέραιο k, τότε έχουμε
$\displaystyle{\sqrt 7 - \sqrt 2 = k \Leftrightarrow \frac{{7 - 2}}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} = k \Leftrightarrow \sqrt 7 + \sqrt 2 = \frac{5}{k}}$
$\displaystyle{\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 7 - \sqrt 2 = k} \\ {\sqrt 7 + \sqrt 2 = \frac{5}{k}} \\ \end{array} \Rightarrow 2\sqrt 7 = k + \frac{5}{k} \Leftrightarrow \sqrt 7 = \frac{k}{2} + \frac{5}{{2k}}}$ άρρητος = ρητός άρα άτοπο...

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

mathxl kai chris_gatos
Έστω ριζα 2 είναι ο πρώτος, ρίζα 5 ο μ+1 και ρίζα 7 ο ρ+1.
Αν ω η διαφορά της προόδου έχουμε:
$\sqrt{5}=\sqrt{2}+\mu \omega$ και $\sqrt{7}=\sqrt{2}+\rho \omega$
Διαιρούμε κατά μέλη και θέτουμε ρ/μ=λ, οπότε:
$\lambda =\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2\ }}$ ή μετά από πράξεις $\sqrt{35}=\frac{5\lambda ^{2}+7-2\left(\lambda -1 \right)^{2}}{2\lambda }$ , πράγμα άτοπο, διότι ο ριζα 35 είναι άρρητος.
Αντίστοιχα αν είναι διαφορετική η διάταξη των όρων.
Φιλικά
Χρήστος

mathxl · #5

Χρήστο Λ. πολύ σωστή η παρέμβαση σου, μιας και η λύση που πρότεινα μπάζει (έφαγα το ω). Αυτά παθαίνει κανείς όταν θεωρεί ένα θέμα εύκολο και το αντιμετωπίζει πρόχειρα...

Aριθμητική πρόοδος;;;

Aριθμητική πρόοδος;;;

Re: Aριθμητική πρόοδος;;;

Re: Aριθμητική πρόοδος;;;

Re: Aριθμητική πρόοδος;;;

Re: Aριθμητική πρόοδος;;;

Μέλη σε σύνδεση