Σχετική θέση

pito · #1

Δίνεται η συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ για την οποία ισχύει $f^{3}(x)+f(x)=x^{3}+x+1$ . Να δείξετε ότι $f(x)>f^{-1}(x)$ για κάθε

πραγματικό.

#2

Καλησπέρα και καλό μήνα σε όλους!

Αρχικά αναφέρω ότι η παρακάτω αντιμετώπιση είναι ακατάλληλη και τελείως εκτός πνεύματος για μαθητές της Γ Λυκείου (αν και δεν υπάρχει τίποτε στην παρακάτω απόδειξη που να μην μπορεί να καταλάβει ένας καλός μαθητής της Γ). Επίσης δεν περιέχονται όλες οι λεπτομέρειες αλλά θεωρώ ότι υπάρχουν όλα τα απαραίτητα βήματα στην απόδειξη χωρίς να χάνεται η ουσία αυτής.

Τα βήματα για να αποδειχθεί το καλύτερο $f(x)>x>f^{-1}(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

α) Η

έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

β) Η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

γ) Είναι f(x) > x

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

δ) Η

είναι γνησίως αύξουσα.

ε) Είναι $x>f^{-1}(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Απόδειξη

α) Ορίζουμε g(x)=x^3+x+1

η οποία είναι γνησίως αύξουσα (άρα και αντιστρέψιμη) και συνεχής με σύνολο τιμών το $g(\mathbb{R})=\left(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x), \displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x) \right)=\mathbb{R}$ (εύκολο).

Θα δείξουμε ότι για το τυχαίο $y_0\in\mathbb{R}$ υπάρχει x_0

ώστε

. Επιλέγουμε $x_0=g^{-1}(y_0^3+y_0)$ . Τότε θέτοντας στην αρχική όπου

το

παίρνουμε:
$\begin{aligned}f^3(x_0)+f(x_0) = x_0^3+x_0+1 &\Leftrightarrow f^3(x_0)+f(x_0)=g(x_0) \Leftrightarrow f^3(x_0)+f(x_0)=y_0^3+y_0 \\ &\Leftrightarrow g(f(x_0))=g(y_0) \Leftrightarrow f(x_0)=y_0 \end{aligned}$

β) Σταθεροποιούμε $x_0\in\mathbb{R}$ . Τότε θέτοντας στην αρχική όπου

το

και αφαιρώντας από αυτή παίρνουμε:

$f^3(x)-f^3(x_0)+f(x)-f(x_0)=x^3-x_0^3+x-x_0 \Rightarrow f(x)-f(x_0)=\dfrac{(x-x_0)(x^2+x_0x+x_0^2+1)}{f^2(x)+f(x_0)f(x)+f^2(x_0)+1}$

απ' όπου $\left|f(x)-f(x_0)\right|\leq \left|(x-x_0)(x^2+x_0x+x_0^2+1)\right|$ αφού $f^2(x)+f(x_0)f(x)+f^2(x_0)+1\geq 1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Πλέον από την παραπάνω σχέση είναι άμεσο από το κριτήριο παρεμβολής ότι $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0$ απ' όπου και το ζητούμενο.

γ) Προφανώς αν υπάρχει x_0

για το οποίο f(x_0)=x_0

τότε θέτοντας όπου

το

στην αρχική, καταλήγουμε άμεσα σε άτοπο. Άρα $f(x)-x\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και αφού f(x)-x

συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επιπλέον για x=0

στην αρχική παίρνουμε f(0)(f^2(0)+1)=1

απ' όπου

, άρα η

παίρνει μία θετική τιμή για x=0

, άρα

για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

δ) Πράγματι, αν x_1<x_2

τότε αφού η g(x)=x^3+x+1

είναι γνησίως αύξουσα, παίρνουμε g(x_1)<g(x_2)

η οποία λόγω της αρχικής σχέσης γίνεται:

$\begin{aligned}f^3(x_1)+f(x_1)<f^3(x_2)+f(x_2) &\Rightarrow g(f(x_1))-1<g(f(x_2))-1 \\ &\Rightarrow g(f(x_1))<g(f(x_2)) \\ &\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\end{aligned}$

ε) Η

είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέφεται και έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ . Θέτοντας όπου

το $f^{-1}(x)$ στην f(x)>x

καταλήγουμε άμεσα στο ζητούμενο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

pito · #3

Καλημέρα Αλέξανδρε, καλό μήνα! Σε ευχαριστώ για την ενασχόλησή σου!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

cretanman έγραψε: Τρί Μάιος 01, 2018 2:30 am Καλησπέρα και καλό μήνα σε όλους!

Αρχικά αναφέρω ότι η παρακάτω αντιμετώπιση είναι ακατάλληλη και τελείως εκτός πνεύματος για μαθητές της Γ Λυκείου (αν και δεν υπάρχει τίποτε στην παρακάτω απόδειξη που να μην μπορεί να καταλάβει ένας καλός μαθητής της Γ). Επίσης δεν περιέχονται όλες οι λεπτομέρειες αλλά θεωρώ ότι υπάρχουν όλα τα απαραίτητα βήματα στην απόδειξη χωρίς να χάνεται η ουσία αυτής.

Τα βήματα για να αποδειχθεί το καλύτερο $f(x)>x>f^{-1}(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

α) Η έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ .

β) Η είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ .

γ) Είναι για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

δ) Η είναι γνησίως αύξουσα.

ε) Είναι $x>f^{-1}(x)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Απόδειξη

α) Ορίζουμε η οποία είναι γνησίως αύξουσα (άρα και αντιστρέψιμη) και συνεχής με σύνολο τιμών το $g(\mathbb{R})=\left(\displaystyle\lim_{x\to -\infty} g(x), \displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x) \right)=\mathbb{R}$ (εύκολο).

Θα δείξουμε ότι για το τυχαίο $y_0\in\mathbb{R}$ υπάρχει ώστε . Επιλέγουμε $x_0=g^{-1}(y_0^3+y_0)$ . Τότε θέτοντας στην αρχική όπου το παίρνουμε:
$\begin{aligned}f^3(x_0)+f(x_0) = x_0^3+x_0+1 &\Leftrightarrow f^3(x_0)+f(x_0)=g(x_0) \Leftrightarrow f^3(x_0)+f(x_0)=y_0^3+y_0 \\ &\Leftrightarrow g(f(x_0))=g(y_0) \Leftrightarrow f(x_0)=y_0 \end{aligned}$

β) Σταθεροποιούμε $x_0\in\mathbb{R}$ . Τότε θέτοντας στην αρχική όπου το και αφαιρώντας από αυτή παίρνουμε:

$f^3(x)-f^3(x_0)+f(x)-f(x_0)=x^3-x_0^3+x-x_0 \Rightarrow f(x)-f(x_0)=\dfrac{(x-x_0)(x^2+x_0x+x_0^2+1)}{f^2(x)+f(x_0)f(x)+f^2(x_0)+1}$

απ' όπου $\left|f(x)-f(x_0)\right|\leq \left|(x-x_0)(x^2+x_0x+x_0^2+1)\right|$ αφού $f^2(x)+f(x_0)f(x)+f^2(x_0)+1\geq 1$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Πλέον από την παραπάνω σχέση είναι άμεσο από το κριτήριο παρεμβολής ότι $\displaystyle\lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))=0$ απ' όπου και το ζητούμενο.

γ) Προφανώς αν υπάρχει για το οποίο τότε θέτοντας όπου το στην αρχική, καταλήγουμε άμεσα σε άτοπο. Άρα $f(x)-x\neq 0$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ και αφού συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο. Επιπλέον για στην αρχική παίρνουμε απ' όπου , άρα η παίρνει μία θετική τιμή για , άρα για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

δ) Πράγματι, αν τότε αφού η είναι γνησίως αύξουσα, παίρνουμε η οποία λόγω της αρχικής σχέσης γίνεται:

$\begin{aligned}f^3(x_1)+f(x_1)<f^3(x_2)+f(x_2) &\Rightarrow g(f(x_1))-1<g(f(x_2))-1 \\ &\Rightarrow g(f(x_1))<g(f(x_2)) \\ &\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)\end{aligned}$

ε) Η είναι γνησίως αύξουσα άρα αντιστρέφεται και έχει σύνολο τιμών το $\mathbb{R}$ . Θέτοντας όπου το $f^{-1}(x)$ στην καταλήγουμε άμεσα στο ζητούμενο για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

Αλέξανδρος

Καλό μήνα Αλέξαντρε.
Συμφωνώ απόλυτα με το ότι η άσκηση δεν είναι στο πνεύμα της σχολικής ύλης.

Η λύση μπορεί να συντομευθεί.

Το α) όπως το δικό σου.

β)Αποδεικνύουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα.

Πράγματι αν $x< y ,f(x)\geq f(y)$

τότε $x^{3}+x+1=(f(x))^{3}+f(x)\geq (f(y))^{3}+f(y)=y^{3}+y+1$

και καταλήγουμε σε ΑΤΟΠΟ

γ)Αποδεικνύουμε ότι f(x)> x

Πράγματι αν υπάρχει

με $f(x)\leq x$

τότε $x^{3}+x\geq (f(x))^{3}+f(x)=x^{3}+x+1$ ΑΤΟΠΟ.

Αφού η

είναι γνησίως αύξουσα με πεδίο τιμών το $\mathbb{R}$

η $f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$

υπάρχει και είναι γνησίως αύξουσα.

Ετσι $f(x)> x\Rightarrow f^{-1}(f(x))> f^{-1}(x)\Rightarrow x>f^{-1}(x)$

Το ουσιαστικό είναι ότι δεν χρειάζεται η απόδειξη της συνέχειας.

Σχετική θέση

Σχετική θέση

Re: Σχετική θέση

Re: Σχετική θέση

Re: Σχετική θέση

Μέλη σε σύνδεση