Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

antonisdroutsas1997 · #1

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1$ .

A.Να αποδειχτεί ότι η f' είναι άρτια και να βρεθούν τα όρια της στο $\pm \infty$ .
Β.Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Γ.Να αποδειχθεί ότι κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(ξ,f(ξ)) με ξ>0 έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.

Σταμ. Γλάρος · #2

antonisdroutsas1997 έγραψε: Τρί Μάιος 08, 2018 2:29 pm Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1$ .

A.Να αποδειχτεί ότι η f' είναι άρτια και να βρεθούν τα όρια της στο $\pm \infty$ .
Β.Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα.
Γ.Να αποδειχθεί ότι κάθε εφαπτομένη της f σε σημείο Α(ξ,f(ξ)) με ξ>0 έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την f εκτός του σημείου επαφής.

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια ...
Α. Είναι $f'(x)=\ln(x^{2}+e-1) -2x^{2}+1 = f(x)$ , $\forall x\in \mathbb{R}$ . Συνεπώς η

: άρτια.

Επίσης $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty }f'(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty} \left (x^2 \left [ \dfrac{ln\left ( x^2+e-1 \right )}{x^2} -2 +\dfrac{1}{x^2}\right ] \right )= -\infty$ , διότι θέτοντας x^2+e-1=u

έχουμε
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow- \infty }\dfrac{ln\left ( x^2+e-1 \right )}{x^2} = \lim_{x\rightarrow + \infty }\frac{lnu}{u+1-e} \overset{\frac{\infty }{\infty }}{=}\underset{DLH}{=} \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{1}{u} =0$ .

Ομοίως και $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty }f'(x)= + \infty$ .

B. Η

είναι παραγωγίσιμη με $f''(x)= \dfrac{-2x(2x^2+2e-3)}{x^2+e-1}$ .

Είναι f''(x) >0

$\forall x \in (-\infty , 0]$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $(-\infty , 0]$ , συνεπώς κυρτή στο διάστημα αυτό.
Είναι f''(x) <0

$\forall x \in [0,\infty )$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο ${0, +\infty )$ , συνεπώς κοίλη στο διάστημα αυτό.
Το

είναι μοναδικό σημείο καμπής.

Επίσης ισχύει :
$x<-1 \Rightarrow f'(x)<f'(-1)=0$ . Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty , -1]$ .

$-1<x<1 \Rightarrow f'(x)>f'(-1)=0$ . Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο [-1 , 1]

.

$x<-1 \Rightarrow f'(x)<f'(-1)=0$ . Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty )$ .

Γ. Η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο της C_f

με τετμημένη $\xi >0$ είναι $g(x)= f'(\xi ) (x-\xi ) +f(\xi )$ .
Αφού η

είναι κοίλη στο $(0,+\infty)$ συμπεραίνουμε $f(x)\leq g(x)$ (1).
Θέτω h(x)=f(x)-g(x)

. Είναι $h(x)\leq0$ με h(x)= 0

μόνο στο $\xi$ .
Έστω ότι δεν υπάρχει κανένα κοινό σημείο της με την εφαπτομένη της εκτός του σημείου επαφής.
Τότε $h(x)\neq 0 ,\,\,\,\,\forall x\in (-\infty,0)$ και επειδή η

είναι συνεχής διατηρεί πρόσημο στο $(-\infty,0)$ .
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :
α) Έστω h(x)>0

στο $(-\infty,0)$ . Τότε για x_1<0

$\Rightarrow$ h(x_1)>0

.
Επίσης από την (1) για $0<x_2<\xi$ $\Rightarrow$ h(x_2)>0

.
Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. Άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της

στο

.
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει κοινό σημείο της C_f

με την εφαπτομένη της, εκτός του σημείου επαφής. ΑΤΟΠΟ.
β) Έστω h(x)<0

στο $(-\infty,0)$ . Άρα f(x)<g(x)

, δηλαδή η C_f

βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη στο $(-\infty,0)$ .
Επειδή ισχύει ότι η f''

δεν μηδενίζεται σε κανένα άλλο σημείο, πλην του

συμπεραίνουμε ότι η

κοίλη στο $(-\infty,0)$ .
ΑΤΟΠΟ, διότι είναι κυρτή στο διάστημα αυτό.
Συνεπώς κάθε εφαπτομένη της

σε σημείο $Α(\xi,f(\xi))$ με $\xi>0$ έχει κοινό σημείο με την

εκτός του σημείου επαφής.

Έστω τώρα ότι η C_f

έχει δύο κοινά σημεία A(x_1,f(x_1))

,

με την εφαπτομένη της στο $Α(\xi,f(\xi))$ εκτός από το σημείο επαφής .
Είναι x_1<0

και

. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:
α) $-\xi<x_1<x_2<0<\xi$ . Είναι $f'(-\xi)=f'(\xi)$ .

Επίσης $f(x_1)=g(x_1)\Leftrightarrow f(x_1)=f'(x_1)(x_1-\xi )+f(\xi )\Leftrightarrow \dfrac{f(\xi )-f(x_1)}{\xi -x_1} =f'(\xi )$ .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του ΘΜΤ για την

στο $[x_1, \xi]$ . Επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένα $x_o \in (x_1, \xi)$ ώστε $f'(x_o)= \dfrac{f(\xi )-f(x_1)}{\xi -x_1}$ .
Άρα $f'(-\xi) = f'(x_o) =f'(\xi)$ .
Εφαρμόζω δύο φορές Θ. Rolle στην

στα $[-\xi, x_o]$ και $[x_o, \xi]$ συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες της f''

.
ΑΤΟΠΟ.
β) $x_1<-\xi<x_2<0<\xi$ . Ομοίως με την προηγούμενη, καταλήγουμε σε Άτοπο.
γ) $x_1<x_2<-\xi<0<\xi$ . Ομοίως με την προηγούμενη, καταλήγουμε σε Άτοπο.

Τελικά κάθε εφαπτομένη της

σε σημείο $Α(\xi,f(\xi))$ με $\xi>0$ έχει μοναδικό κοινό σημείο με την

εκτός του σημείου επαφής.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

Re: Σημείο τομής εφαπτομένης με καμπύλη

Μέλη σε σύνδεση