Μέγιστη απόσταση

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1636
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Μέγιστη απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 08, 2018 3:19 pm

Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος (x-3)^2+(y-4)^2=25. Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το O(0,0).

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 08, 2018 3:42 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 3:19 pm
Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος (x-3)^2+(y-4)^2=25. Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το O(0,0).

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Ορέστη,

κάτι τέτοιες ασκήσεις κάναμε πριν χρόνια στη Γ' Λυκείου στους μιγαδικούς. Ας το μεταφράσω με τα εκείνα δεδομένα. Έστω μιγαδικός z \in \mathbb{C} τέτοιος ώστε η εικόνα τού να ανήκει στο κύκλο επάνω. Τότε \left | z - \left ( 3+4i \right ) \right | = 5. Τότε από τριγωνική ανισότητα έχουμε:

\displaystyle{\left | z \right | = \left | z - (3+4i) + (3+4i) \right | \leq \left | z-(3+4i) \right | + \left | 3+4i \right | = 5 + 5 =10}
Το οποίο μας δίδει ένα άνω φράγμα για τη τιμή του |z|. Αρκεί να βρούμε έναν μιγαδικό για την οποία να πιάνετε η τιμή 10. O κύκλος διέρχεται από την αρχή των αξόνων και το κέντρο τού είναι το \mathrm{K}(3, 4).

\displaystyle{\begin{tikzpicture}[scale=0.5] 
\draw[step=1.0,gray,thin] (-3, -3) grid (9.5, 9.5); 
\draw (3, 4) circle(5cm); 
\draw [fill=black] (0, 0) circle (2pt); 
\draw (-0.4, 0) node[below]{\mathrm{O}}; 
\draw [dashed] (0, 0) -- (6, 8); 
\draw (3, 3.8) node[below]{\mathrm{K}}; 
\draw (6, 8) node[right]{\mathrm{B}}; 
\draw [fill=black] (6, 8) circle(2pt); 
\draw [fill=black] (3, 4) circle(2pt); 
\end{tikzpicture}}
Η εξίσωση της ευθείας \mathrm{OB} είναι η (\varepsilon):-4x+3y=0 η οποία τέμνει ( ξανά ) τον κύκλο \mathcal{C} στο σημείο (6, 8) το οποίο έχει απόσταση από το \mathrm{O} ίση με 10. Αυτό είναι και το ζητούμενο σημείο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1636
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστη απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 08, 2018 4:02 pm

Αποστόλη ευχαριστώ για την απάντηση.

Από αβλεψία, πήρα τον κύκλο να περνάει από την αρχή των αξόνων, οπότε η άσκηση γίνεται προφανής.

Θα μπορούσαμε λοιπόν να πάρουμε τον κύκλο (x-5)^2+(y-2)^2=16, και να βρούμε την μέγιστη απόσταση ενός σημείου του από το O(0,0).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστη απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 08, 2018 4:09 pm

Ορέστη,

ό, τι έκανα πάνω κάνε και σε αυτή τη περίπτωση. Εύκολα το προσαρμόζεις. Το κέντρο του κύκλου σου είναι το \mathrm{K}(5, 2). Η ευθεία που περνά από τα σημεία \mathrm{K}, \mathrm{O} έχει εξίσωση (\varepsilon):2x-5y=0. Λύσε το σύστημα της ευθείας και του κύκλου. Το ένα σημείο που θα βρεις θα σου δώσει ελάχιστη απόσταση και το άλλο μέγιστη. Στη συνέχεια η μέγιστη απόσταση είναι 8 συν το κομμάτι της ελάχιστης απόστασης. Το σημείο στο οποίο πιάνεται η μέγιστη θα το βρεις από το σύστημα.

Φιλικά,

Τ.


Γενικά αυτό που κάνεις είναι να παίρνεις τη διάκεντρο που περνά από το σημείο που θες και τη τέμνεις με τον κύκλο.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10027
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστη απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 08, 2018 4:30 pm

Καλησπέρα!

Γενικά.
Μέγιστη απόσταση..png
Μέγιστη απόσταση..png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 1033 φορές
Φέρνω από το O ευθεία που διέρχεται από το κέντρο K του κύκλου και τέμνει τον κύκλο κατά σειρά στα σημεία S, T

και έστω M ένα σημείο του κύκλου. Από τριγωνική ανισότητα είναι: \displaystyle OM \le OS + SM \le OS + ST = OT


Αλλιώς: \displaystyle OM \le OK + KM = OK + KT \Leftrightarrow \boxed{OM\le OT} και ισχύει είτε το O είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, είτε εξωτερικό είτε πάνω στον κύκλο.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1636
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μέγιστη απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τρί Μάιος 08, 2018 4:55 pm

george visvikis έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 4:30 pm
Καλησπέρα!

Γενικά.
Μέγιστη απόσταση..png
Φέρνω από το O ευθεία που διέρχεται από το κέντρο K του κύκλου και τέμνει τον κύκλο κατά σειρά στα σημεία S, T

και έστω M ένα σημείο του κύκλου. Από τριγωνική ανισότητα είναι: \displaystyle OM \le OS + SM \le OS + ST = OT


Αλλιώς: \displaystyle OM \le OK + KM = OK + KT \Leftrightarrow \boxed{OM\le OT} και ισχύει είτε το O είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου, είτε εξωτερικό είτε πάνω στον κύκλο.
Αυτό ακριβώς ζητούσα Γιώργο! :coolspeak:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12988
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Μέγιστη απόσταση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μάιος 08, 2018 6:06 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 4:55 pm
Αυτό ακριβώς ζητούσα Γιώργο! :coolspeak:
Ορέστη, για την ιστορία, η σωστή παραπομπή αυτού που ζητάς είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη, Βιβλίο 3, Προτάσεις  7 και 8.
7 είναι για εσωτερικά σημεία και η 8 για εξωτερικά).

Βλέπε π.χ. εδώ , σελίδες 269 έως 272.

Σχόλιο: Ζητώ συγνώμη που παραπέμπω στην συγκεκριμένη έκδοση των Στοιχείων γιατί κατά την επιστημονική μου γνώμη
α) πάμπολλα στοιχεία είναι παρμένα από την αντίστοιχη έκδοση του Heath και
β) η συγκεκριμένη έκδοση περιέχει, δυστυχώς, σοβαρές ανακρίβειες.
Από δω που βρίσκομαι δεν βρίσκω άλλη παραπομπή, οπότε εκών άκων δίνω την παραπάνω.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Μέγιστη απόσταση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 08, 2018 10:40 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 3:19 pm
Με αφορμή την άσκηση εδώ:

Δίνεται ο κύκλος (x-3)^2+(y-4)^2=25. Να βρεθεί σημείο του κύκλου που απέχει την μέγιστη δυνατή απόσταση από το O(0,0).

Θα ήθελα πλήρη απόδειξη, είτε με Αναλυτική Γεωμετρία ή με Ευκλείδεια Γεωμετρία.
Αντιγράφω πιστά (μετατροπή στην δημοτική για τεχνικούς λόγους) από το βιβλίο του
Ι.Γ.ΙΩΑΝΝΙΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 1970
σελ 227 Θεώρημα 3.128
Θεωρούμε ένα σημείο P του επιπέδου ενός κύκλου (c) και τα κοινά σημεία Α και Α' του (c) με την ευθεία PO
(Α προς το μέρος του Ο προς το οποίο κείται το P).
Αν είναι Μ ένα τυχόν σημείο του (c) διάφορο των Α και Α', τότε ισχύουν οι σχέσεις :
PA<PM και PA'>PM.
σημείωση (δική μου)Με Ο ο Ιωαννίδης συμβολίζει το κέντρο του κύκλου.
Απόδειξη.
Ιδία με την δεύτερη του Γιώργου παραπάνω.

Να σημειώσω ότι το παραπάνω είναι πρόταση της Απολύτου Γεωμετρίας.
Δηλαδή ισχύει ανεξάρτητα αν δεχθούμε το Ευκλείδιο αίτημα.

Πιστεύω να μου επιτρέπει ο Γιώργος να κάνω κριτική στην πρώτη απόδειξη.
Η πρώτη απόδειξη του Γιώργου χρησιμοποιεί εμμέσως το Ευκλείδιο αίτημα.
Το Ευκλείδιο αίτημα είναι ισοδύναμο με το ότι το άθροισμα των γωνιών κάποιου τριγώνου είναι 2 ορθές.
Αν λοιπόν δεχθούμε ότι η εγγεγραμμένη γωνία σε διάμετρο είναι ορθή εύκολα βλέπουμε ότι υπάρχει τρίγωνο
με άθροισμα γωνιών 2 ορθές.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 727
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Μέγιστη απόσταση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τρί Μάιος 08, 2018 11:09 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τρί Μάιος 08, 2018 10:40 pm

Αντιγράφω πιστά (μετατροπή στην δημοτική για τεχνικούς λόγους) από το βιβλίο του
Ι.Γ.ΙΩΑΝΝΙΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΘΗΝΑ 1970
σελ 227 Θεώρημα 3.128
Ή 4η άσκηση στις αποδεικτικές της παραγράφου 3.12 του σχολικού βιβλίου Γεωμετρίας Α' Λυκείου.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 0 επισκέπτες