Υπαρξη μοναδικού σημείου μηδενισμού συνάρτησης

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $inf\{f(x),x\in \mathbb{R}\}=0$ και $f(x)+f(y)\geq |x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε f(x_0)=0

Φιλικά

#2

s.kap έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση, τέτοια ώστε $inf\{f(x),x\in \mathbb{R}\}=0$ και $f(x)+f(y)\geq |x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό $x_0 \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε
Φιλικά

Από τον ορισμό του infimum υπάρχει ακολουθία $(x_n)\,$ τέτοια ώστε $f(x_n)\,$ τείνει στο 0.

Είναι τότε $0 \le |x_m - x_n| \le f(x_m) + f(x_n) \rightarrow 0\,$ , δηλαδή η $(x_n)\,$ είναι Cauchy. Άρα συγκλίνει, έστω στο x_0

.

Από συνέχεια είναι f(x_0) = lim f(x_n) = 0

.

Αυτό δείχνει την ύπαρξη του x_0

.

H μοναδικότητα έπεται από την
$0 \le |x_0 - x_0{'} | \le f(x_0) + f(x_0{'}) = 0$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

#3

Μιχάλη ευχαριστώ

Υπαρξη μοναδικού σημείου μηδενισμού συνάρτησης

Υπαρξη μοναδικού σημείου μηδενισμού συνάρτησης

Re: Υπαρξη μοναδικού σημείου μηδενισμού συνάρτησης

Re: Υπαρξη μοναδικού σημείου μηδενισμού συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση