Ένα απαιτητικό θέμα!

#1

Ένα αρκετά δύσκολο θέμα που σκάρωσα προ ολίγου:

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=x+e^{\cos x}\sin x}$ και $\displaystyle{g(x)=x+e^{\sin x}}$ .

α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ έχει άπειρα κρίσιμα σημεία.

δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{g(x)>f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

ε) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle{\xi}$ , η οποία βρίσκεται στο διάστημα $\displaystyle{(-1,0).}$

στ) Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του χωρίου, το οποίο περικλείεται από την $\displaystyle{C_g}$ και τους άξονες $\displaystyle{x'x,y'y}$ ισχύει
$\displaystyle{E>1+\xi -\frac{\xi ^2}{2}}$ .

Λάμπρος Κατσάπας · #2

matha έγραψε: Κυρ Μάιος 27, 2018 1:32 pm Ένα αρκετά δύσκολο θέμα που σκάρωσα προ ολίγου:

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $\displaystyle{f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(x)=x+e^{\cos x}\sin x}$ και $\displaystyle{g(x)=x+e^{\sin x}}$ .

α) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{\mathbb{R}.}$

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της $\displaystyle{f}$ .

γ) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ έχει άπειρα κρίσιμα σημεία.

δ) Να αποδείξετε ότι ισχύει $\displaystyle{g(x)>f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}.}$

ε) Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{g}$ έχει μοναδική ρίζα $\displaystyle{\xi}$ , η οποία βρίσκεται στο διάστημα $\displaystyle{(-1,0).}$

στ) Να αποδείξετε ότι για το εμβαδόν $\displaystyle{E}$ του χωρίου, το οποίο περικλείεται από την $\displaystyle{C_g}$ και τους άξονες $\displaystyle{x'x,y'y}$ ισχύει
$\displaystyle{E>1+\xi -\frac{\xi ^2}{2}}$ .

Κάνω τα δύο πρώτα. Θα επανέλθω για τα υπόλοιπα αν και είμαι σίγουρος ότι θα έχουν ήδη απαντηθεί.

α) Είναι ${f}'(x)=1+e^{cosx}(cos^2x+cosx-1),x\in R.$ Θεωρούμε την $h(y)=1+e^y(y^2+y-1),y \in[-1,1].$

Ισχύει ${h}'(y)=ye^y(y+3),y\in[-1,1].$ Εύκολα ελέγχουμε το πρόσημο της παραγώγου και παίρνουμε ότι

$min(h(y),y\in[-1,1])=h(0)=0.$ . Επειδή {f}'(x)=h(cosx)

θα είναι ${f}'(x)\geq 0$ με την

ισότητα μόνο όταν $cosx=0\Leftrightarrow x=k\pi+\frac{\pi }{2},k\in Z.$ Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.

β) Το κομμάτι $e^{\cos x}\sin x$ της

είναι φραγμένο αφού $|e^{\cos x}\sin x|\leq |e^{\cos x}|\leq e.$ Άρα $x-e\leq f(x)\leq x+e.$

Είναι $\lim_{x\rightarrow -\infty }(x+e)=-\infty \Rightarrow \lim_{x\rightarrow -\infty }f(x)=-\infty$ και

$\lim_{x\rightarrow +\infty }(x-e)=+\infty \Rightarrow \lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty .$

Από τα παραπάνω και σε συνδυασμό με τη συνέχεια και τη μονοτονία από το (α) ερώτημα παίρνουμε τελικά ότι f(R)=R.

ΣΥΝΕΧΕΙΑ (με άλλα δύο)

γ) Επειδή η

είναι παραγωγίσιμη σε όλο το

τα κρίσιμα σημεία θα είναι λύσεις της

${g}'(x)=0\Leftrightarrow 1+e^{sinx}cosx=0.$

Παρατηρούμε ότι ${g}'(2k\pi+\pi )=0.$ Επομένως τα σημεία $x=2k\pi+\pi$ (άπειρα το πλήθος) είναι κρίσιμα σημεία.

Αν έχει και άλλα δεν μας ενδιαφέρει. Το ερώτημα έχει απαντηθεί.

δ) Η ανισότητα γράφεται ισοδύναμα $g(x)>f(x)\Leftrightarrow g(x)-x>f(x)-x\Leftrightarrow \Leftrightarrow e^{sinx-cosx}>sinx.$

Κάνουμε τώρα χρήση της γνωστής $e^x\geq x+1$ (ισότητα μόνο για x=0

) και παίρνουμε $e^{sinx-cosx}\geq sinx-cosx+1.$

(ισότητα μόνο αν $cosx=sinx\Leftrightarrow x=k\pi +\frac{\pi}{4},k\in Z$ )

Όμως $-cosx+1\geq 0$ (ισότητα μόνο όταν $cosx=1\Leftrightarrow x=2k\pi ,k\in Z .$ )

Οι δύο παραπάνω ισότητες δεν πιάνονται προφανώς σε ίδια σημεία (ένας τριγωνομετρικός κύκλος αρκεί για να μας πείσει)

και επομένως $e^{sinx-cosx}> sinx.$

ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ

ε) Περιγράφω πρώτα την ιδέα. Το να δείξουμε ότι έχει μια τουλάχιστον στο (-1,0)

είναι εύκολο με Bolzano.

Το ένα ακριβώς το δείχνω ως εξής: Αν έχει επιπλέον ρίζα τότε αυτή θα βρίσκεται αναγκαστικά σε κάποιο διάστημα που θα δούμε πως προκύπτει.

Θα δουλέψω όμως για ευκολία στις πράξεις σε υπερσύνολο

αυτού του διαστήματος.

Σε αυτό το διάστημα η

είναι κυρτή οπότε θα έχει το πολύ δύο ρίζες (η μια είναι η $\xi$ ).

Αν υποθέσουμε και δεύτερη ρίζα τότε στα υποδιαστήματα που ορίζουν οι ρίζες και το κάτω άκρο του

αν

κάνουμε ΘΜΤ οδηγούμαστε σε άτοπο γιατί χαλάει η μονοτονία της παραγώγου. Έτσι δείχνουμε το ''μια ακριβώς ρίζα''.

Μια τουλάχιστον

Είναι g(0)=1

και $g(-1)=-1+e^{sin(-1)}<0$ γιατί

$-1+e^{sin(-1)} <0\Leftrightarrow -1+e^{-sin1} <0\Leftrightarrow e^{sin1}>1\Leftrightarrow e^{sin1}>e^0\Leftrightarrow sin1>0$ που ισχύει.

Πήραμε το ''τουλάχιστον''.

Μια ακριβώς

Από την $-1\leq sinx\leq 1$ παίρνουμε την $x+\frac{1}{e}\leq g(x)\leq x+e.$

Για $x+e<0\Leftrightarrow x<-e$ είναι g(x)<0

και για $x+\frac{1}{e}>0\Leftrightarrow x>-\frac{1}{e}$ είναι g(x)>0

.

Άρα η επιπλέον ρίζα (αν υπάρχει) θα αναζητηθεί στο $[-e,-\frac{1}{e}]$ . Θα δουλέψουμε όμως στο $[-\pi ,0]\supset [-e,-\frac{1}{e}].$

Είναι ${g}''(x)=-e^{sinx}(sin^2x+sinx-1).$ Θεωρώντας την $k(w)=-e^w(w^2+w-1),w\in[-1,0]$

δείχνουμε εύκολα ότι για $w\in(-1,0]:k(w)>k(-1)=\frac{1}{e}>0.$ Επειδή όταν $x\in[-\pi ,0]$ είναι

$sinx\in[-1,0]$ και επιπλέον {g}''(x)=k(sinx)

παίρνουμε ${g}''(x)\geq \frac{1}{e}>0$ και

επομένως η

είναι κυρτή δηλαδή η {g}'

είναι γνησίως αύξουσα.

Έστω ότι η

έχει και άλλη ρίζα $\rho .$ Είναι προφανές ότι $\rho \neq 0,\rho \neq- \pi .$

Αν $\rho >\xi$ τότε από το ΘΜΤ στα διαστήματα $[-\pi ,\xi],[\xi ,\rho ]$ παίρνουμε αντίστοιχα $\theta _1,\theta _2$ με

${g}'(\theta _1)>{g}'(\theta _2)=0$ το οποίο είναι ΑΤΟΠΟ αφού {g}'

γνησίως αύξουσα.

Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν υποθέσουμε ότι $\rho <\xi .$

ΤΕΛΕΙΩΜΑ

Πάλι καλά που δεν στοιχημάτισα στην αρχική πρόβλεψη

. Δείξαμε ότι οι g έχει μοναδική ρίζα $\xi .$

Στα διαστήματα $(-\infty ,\xi ),(\xi,+\infty)$ λόγω συνέχειας θα διατηρεί πρόσημο. Επειδή g(-1)<0,g(0)>0

παίρνουμε τελικά g(x)<0

στο $(-\infty ,\xi )$ και g(x)>0

στο $(\xi,+\infty).$

Το ζητούμενο

είναι το

$\int_{\xi }^{0}|g(x)|dx=\int_{\xi }^{0}g(x)dx=\int_{\xi }^{0}x+e^{sinx}dx> \int_{\xi }^{0}x+e^{sinx}cosxdx=$

$=\int_{\xi }^{0}xdx+\int_{\xi }^{0}e^{sinx}({sinx})'dx=...=1-e^{sin\xi }-\frac{\xi ^2}{2}=1+\xi -\frac{\xi ^2}{2}.$

Ένα απαιτητικό θέμα!

Ένα απαιτητικό θέμα!

Re: Ένα απαιτητικό θέμα!

Μέλη σε σύνδεση