Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #1

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $f(x)=e^x +\frac {1}{\sqrt{x}}-sinx$
Να αποδείξετε ότι $\int_{2\pi}^{4\pi} f(x)cosx dx >0$

#2

Διεγράφη μια "λύση" καθώς, όπως μου επεσήμανε ο Σταύρος Παπδόπουλος, είχε σοβαρό σφάλμα.

Πάντως πρόκειται για πολύ χαλαρή ανισότητα, αφού το wolfram βρίσκει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{143.108}$

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

matha έγραψε: Πέμ Ιουν 07, 2018 11:11 pm
Πάντως πρόκειται για πολύ χαλαρή ανισότητα, αφού το wolfram βρίσκει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{143.108}$

Χρειαζόμουν απλώς μΙα συνάρτηση που να είναι κυρτή. Πως θα αντιμετωπίζαμε το θέμα, αν δεν ξέραμε τον τύπο της

, γιατί ουσιαστικά δεν χρειάζεται, αλλά γνωρίζαμε απλά ότι είναι κυρτή και δυο φορές παραγωγίσιμη;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

NIZ έγραψε: Πέμ Ιουν 07, 2018 11:23 pm
matha έγραψε: Πέμ Ιουν 07, 2018 11:11 pm
Πάντως πρόκειται για πολύ χαλαρή ανισότητα, αφού το wolfram βρίσκει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{143.108}$
Χρειαζόμουν απλώς μΙα συνάρτηση που να είναι κυρτή. Πως θα αντιμετωπίζαμε το θέμα, αν δεν ξέραμε τον τύπο της , γιατί ουσιαστικά δεν χρειάζεται, αλλά γνωρίζαμε απλά ότι είναι κυρτή;

$\int_{0}^{2\pi }f(x)\cos x dx=\int_{0}^{2\pi }f(x)(\sin x)' dx=-\int_{0}^{2\pi }f'(x)(\sin x) dx=$
$=-\int_{0}^{\pi }f'(x)(\sin x)dx-\int_{\pi }^{2\pi }f'(x)(\sin x)dx$

Επειδή $\int_{\pi }^{2\pi }f'(x)\sin x dx=-\int_{0}^{\pi }f'(x+\pi )\sin x dx$

προκύπτει άμεσα λόγω της μονοτονίας της παραγώγου.

Γενικότερα για μια κυρτή

και $n\in \mathbb{N}-\left \{ 0 \right \}$

είναι

$\int_{0}^{2\pi }f(x)\cos nx dx\geq 0$

#5

NIZ έγραψε: Πέμ Ιουν 07, 2018 11:23 pm
matha έγραψε: Πέμ Ιουν 07, 2018 11:11 pm
Πάντως πρόκειται για πολύ χαλαρή ανισότητα, αφού το wolfram βρίσκει ότι το ολοκλήρωμα ισούται με $\displaystyle{143.108}$
Χρειαζόμουν απλώς μΙα συνάρτηση που να είναι κυρτή. Πως θα αντιμετωπίζαμε το θέμα, αν δεν ξέραμε τον τύπο της , γιατί ουσιαστικά δεν χρειάζεται, αλλά γνωρίζαμε απλά ότι είναι κυρτή και δυο φορές παραγωγίσιμη;

Ok!

Με παραγοντική έχουμε εύκολα

$\displaystyle{\int_{2\pi}^{4\pi}f(x)\cos xdx=-\int_{2\pi}^{4\pi}f'(x)\sin xdx=f'(4\pi)-f'(2\pi)-\int_{2\pi}^{4\pi}f''(x)\cos xdx.}$

Είναι τώρα

$\displaystyle{1\geq \cos x\implies f''(x)\geq f''(x)\cos x\implies \int_{2\pi}^{4\pi}f''(x)dx>\int_{2\pi}^{4\pi}f''(x)\cos xdx\implies }$

$\displaystyle{\implies \int_{2\pi}^{4\pi}f(x)\cos xdx>f'(4\pi)-f'(2\pi)-\int_{2\pi}^{4\pi}f''(x)dx=0.}$

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #6

Αυτό το τμήμα της άσκησης με ενδιέφερε. Σας ευχαριστώ και τους δύο.

Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Re: Ανισότητα στα ολοκληρώματα

Μέλη σε σύνδεση