Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

#1

Μία Αριθμητική πρόοδος αποτελείται από ακεραίους. Δείξτε ότι αν κάποιος όρος της είναι τέλειο τετράγωνο, τότε
άπειροι το πλήθος όροι της θα είναι τέλεια τετράγωνα.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

sokpanvas · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 09, 2018 4:16 pm
Μία Αριθμητική πρόοδος αποτελείται από ακεραίους. Δείξτε ότι αν κάποιος όρος της είναι τέλειο τετράγωνο, τότε
άπειροι το πλήθος όροι της θα είναι τέλεια τετράγωνα.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Αν $a_{k}=m^2=a_1 + (k-1)\omega$ τότε
$m^2 +2lm\omega + l^2\omega ^2=a_1 + (k-1)\omega +2lm\omega + l^2\omega ^2 \Rightarrow (m+l\omega )^2=a_1 + (k-1+2lm+l^2\omega )\omega$
Άρα αν ο

-οστός όρος είναι τέλειο τετράγωνο, θα είναι και ο $k+2lm+l^2\omega$ -οστός

#3

sokpanvas έγραψε: ↑
Σάβ Ιουν 09, 2018 5:05 pm
Αν $a_{k}=m^2=a_1 + (k-1)\omega$ τότε
$m^2 +2lm\omega + l^2\omega ^2=a_1 + (k-1)\omega +2lm\omega + l^2\omega ^2 \Rightarrow (m+l\omega )^2=a_1 + (k-1+2lm+l^2\omega )\omega$
Άρα αν ο -οστός όρος είναι τέλειο τετράγωνο, θα είναι και ο $k+2lm+l^2\omega$ -οστός

Ας προσθέσω ότι, γενικότερα, αν

πολυώνυμο με ακέραιους συντελεστές και αν κάποιος όρος της προόδου είναι
της μορφής p(a)

, τότε οι όροι $p(a) + \frac {p(a+n\omega)-p(a)}{\omega}\omega$ είναι άπειροι όροι της ίδιας μορφής.

(Παρατηρούμε ότι ο $\frac {p(a+n\omega)-p(a)}{\omega}$ είναι ακέραιος).

Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Re: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Re: Αριθμητική πρόοδος με τέλειο τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση