Μοναδική ρίζα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε το $f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$

Αν r<s

πραγματικοί και f(r)f(s)<0

τότε η

έχει μοναδική ρίζα στο (r,s)

.

Για Α Λυκείου.(η οποιοσδήποτε ξέρει τριώνυμο).

Ορέστης Λιγνός · #2

Γεια σου Σταύρο!

Τα πράγματα είναι απλά ,για αυτό βάζω μόνο το σχήμα. Να πω μόνο ότι στην περίπτωση που είναι r<x_1<s<x_2

, τότε αν στο διάστημα (r,s)

είχαμε εκτός από την x_1

μία άλλη ρίζα, έστω $\rho$ , το τριώνυμο θα είχε τρεις ρίζες,τις $x_1,x_2,\rho$ , άτοπο.

: roots.png (25.2 KiB) Προβλήθηκε 1597 φορές

Al.Koutsouridis · #3

Προφανώς μια εφαρμογή του παραπάνω προβλήματος του κ.Σταύρου είναι το θέμα Γ των φετινών πανελλαδικών εξετάσεων. Ας δούμε άλλη μια εφαρμογή, (ως άσκηση) για να βρούμε και τα υπόλοιπα σημεία που λείπουν από την τελική απάντηση, στο πρόβλημα εδώ.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εγώ πάντως αν μου ζητούσαν να το αποδείξω θα έγραφα:

Γνωρίζουμε
1) Αν η διακρίνουσα δεν είναι θετική τότε το τριώνυμο είναι πάντα μη αρνητικό η πάντα μη θετικό
2)Αν η διακρίνουσα είναι θετική τότε το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες.
3)Αν ένα τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες τότε έχει το ίδιο πρόσημο στο διάστημα μεταξύ των ριζών καθώς και στην
ένωση των διαστημάτων εκτός των ριζών

Αφού το τριώνυμο παίρνει δύο ετερόσημες τιμές από 1)η διακρίνουσα είναι θετική.
Αρα από το 2) έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Αν δεν ισχύει το ζητούμενο τότε η και οι δύο ρίζες θα είναι μεταξύ των r,s

η και οι δύο ρίζες θα ήταν έξω
από το (r,s)

.
Και τα δύο είναι αντιφατικά με το 3).
Αρα ακριβώς μια ρίζα είναι στο (r,s)

.

Τα παραπάνω είναι ίδια με την απόδειξη του Ορέστη λίγο διαφορετικά διατυπωμένα.

Μοναδική ρίζα

Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση