Εγώ πάντως αν μου ζητούσαν να το αποδείξω θα έγραφα:
Γνωρίζουμε
1) Αν η διακρίνουσα δεν είναι θετική τότε το τριώνυμο είναι πάντα μη αρνητικό η πάντα μη θετικό
2)Αν η διακρίνουσα είναι θετική τότε το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες.
3)Αν ένα τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες τότε έχει το ίδιο πρόσημο στο διάστημα μεταξύ των ριζών καθώς και στην
ένωση των διαστημάτων εκτός των ριζών
Αφού το τριώνυμο παίρνει δύο ετερόσημες τιμές από 1)η διακρίνουσα είναι θετική.
Αρα από το 2) έχει δύο πραγματικές ρίζες.
Αν δεν ισχύει το ζητούμενο τότε η και οι δύο ρίζες θα είναι μεταξύ των

η και οι δύο ρίζες θα ήταν έξω
από το

.
Και τα δύο είναι αντιφατικά με το 3).
Αρα ακριβώς μια ρίζα είναι στο

.
Τα παραπάνω είναι ίδια με την απόδειξη του Ορέστη λίγο διαφορετικά διατυπωμένα.