σταθερός λόγος

#1

Την πρόταση που ακολουθεί δεν την έχω ξαναδεί. Δίνει άμεση λύση σ' αυτή:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 62&t=62201

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο

. Έστω μεταβλητό σημείο

του ενός και

το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται εκ του

στον άλλο κύκλο.

Να αποδειχτεί ότι ο λόγος PE:PA

είναι σταθερός.

#2

rek2 έγραψε: Κυρ Ιούλ 15, 2018 9:52 pm Την πρόταση που ακολουθεί δεν την έχω ξαναδεί. Δίνει άμεση λύση σ' αυτή:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 62&t=62201

Δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά στο . Έστω μεταβλητό σημείο του ενός και το εφαπτόμενο τμήμα που άγεται εκ του στον άλλο κύκλο.

Να αποδειχτεί ότι ο λόγος είναι σταθερός.

Αν

οι ακτίνες και το

ανήκει στο κύκλο ακτίνας

ο λόγος που ζητώ είναι :

$\boxed{\frac{{PE}}{{PA}} = \sqrt {\frac{{R + r}}{R}} }$ οριακή περίπτωση γνωστής άσκησης .

Πράγματι:

: Σταθερός λόγος.png (21.51 KiB) Προβλήθηκε 785 φορές

$\boxed{\frac{{P{E^2}}}{{P{A^2}}} = \frac{{PA \cdot PB}}{{P{A^2}}} = \frac{{PB}}{{PA}} = \frac{{R + r}}{R} \Rightarrow \frac{{PE}}{{PA}} = \sqrt {\frac{{R + r}}{R}} }$

δείτε τη γενική περίπτωση

Σταθερό πηλίκο.

Δίδονται δύο σταθεροί κύκλοι $(K,r)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(L,R)$ που τέμνονται στα A,B

. Από

τυχαίο σημείο

του πρώτου κύκλου φέρνω εφαπτόμενο τμήμα

στο δεύτερο κύκλο.

Δείξετε ότι $\dfrac{{S{T^2}}}{{SA \cdot SB}}$ είναι σταθερό .

Λύση

: Λήμμα σταθερό πηλίκο.png (38.62 KiB) Προβλήθηκε 810 φορές

Αν η

κόψει το δεύτερο κύκλο στο

τα τρίγωνα $AKL\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ASP$ είναι όμοια

γιατί $\widehat \theta = \widehat K\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat P = \widehat L$ αφού η εγγεγραμμένη είναι το μισό της αντίστοιχης επικέντρου . Έτσι θα έχουμε ΄:

$\dfrac{{S{T^2}}}{{SA \cdot SB}} = \dfrac{{SB \cdot SP}}{{SB \cdot SA}} = \dfrac{{SP}}{{SA}} = \dfrac{{KL}}{{KA}} = \dfrac{d}{r}$ .

Αν τώρα οι δύο κύκλοι αντί να τέμνονται γίνουν εφαπτόμενοι στο $A \equiv B$ θα είναι :

$SA \equiv SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KL \equiv R + r$ και η προηγούμενη σχέση γίνεται : $\boxed{\dfrac{{S{T^2}}}{{S{A^2}}} = \dfrac{{R + r}}{r}}$ .

σταθερός λόγος

σταθερός λόγος

Re: σταθερός λόγος

Μέλη σε σύνδεση