mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Αύγ 18, 2018 9:42 pm**

: GEOMETRIA202=FB2210.png (35.74 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου

ενός ημικυκλίου, παίρνουμε τμήμα $BC=\frac{AB}{2}$ .

Σημείο

"διατρέχει" την

. Έτερο ημικύκλιο, με διάμετρο OP,

τέμνει το πρώτο ημικύκλιο AOB

, στο σημείο

.

Αν η

τέμνει την κάθετο

στην

στο σημείο

, δείξτε ότι : $\frac{CP}{AP}+\frac{DS}{AS}=1$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Αύγ 19, 2018 4:15 pm**

sakis1963 έγραψε: Σάβ Αύγ 18, 2018 9:42 pm GEOMETRIA202=FB2210.png
Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου, παίρνουμε τμήμα $BC=\frac{AB}{2}$ .

Σημείο "διατρέχει" την . Έτερο ημικύκλιο, με διάμετρο τέμνει το πρώτο ημικύκλιο , στο σημείο .

Αν η τέμνει την κάθετο στην στο σημείο , δείξτε ότι : $\frac{CP}{AP}+\frac{DS}{AS}=1$

Γειά σου Σάκη

Εστω ότι OA=OB=R,OK=KP=r,BP=2r-R

Τότε είναι $\dfrac{CP}{AP}=\dfrac{R-BP}{R+2r}=\dfrac{2R-2r}{R+2r},(1),$

Τα τρίγωνα ASB,ADC

είναι όμοια γιατί ειναι ορθογώνια και έχουν μια γωνία κοινή ,συνεπώς
$\dfrac{AS}{AC}=\dfrac{AB}{AS+SD}\Leftrightarrow AS^{2}.(x+1)=6R^{2},(*), x=\dfrac{DS}{AS}$

Στο τρίγωνο
$OSP,OB.SP^{2}+BP.OS^{2}=OP(SB^{2}+OB.BP)\Leftrightarrow R(4r^{2}-R^{2})+(2r-R)R^{2}=2r(SB^{2}+R(2r-R))\Leftrightarrow SB^{2}=\dfrac{(2r-R)R^{2}}{r},AS^{2}=R^{2}.\dfrac{R+2r}{r},(**), (*),(**)\Rightarrow x=\dfrac{4r-R}{R+2r}$
Συνεπως $\dfrac{CP}{AP}+x=\dfrac{2(R-r)}{R+2r}+\dfrac{4r-R}{R+2r}=1$

Γιάννης

mathematica.gr

Αθροισμα λόγων μοναδιαίο

Αθροισμα λόγων μοναδιαίο

Re: Αθροισμα λόγων μοναδιαίο