ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Δευ Σεπ 03, 2018 11:04 pm


Καλησπέρα στην κοινότητα. :)
Έχω κολλήσει σε μία άσκηση, και θα ήθελα μια βοήθεια γιατι την έχω προσπαθήσει πάρα πολύ.



Χρησιμοποιήστε μια παραμετρικοποίηση για να εκφράσετε το εμβαδόν της επιφάνειας ως διπλό ολοκλήρωμα, το οποίο στην συνέχεια και να το υπολογίσετε:

Το τμήμα του επιπέδου y+2z=2 στο εσωτερικό του κυλίνδρου x^2+y^2=1 .


Χρησιμοποίησα μια παραμετρικοποίηση που βασίζεται στις κυλινδρικές συντεταγμένες:

x=\rho \cdot cos(\theta)
y=\rho \cdot sin(\theta)
z=z

Απο οπου παίρνουμε την παραμέτρηση:

\vec{r}(\rho ,\theta)=( \rho \cdot cos(\theta) , \rho \cdot sin(\theta) , 1 - \frac{r\cdot cos(\theta)}{2} )

με
0 \leq \rho \leq 1
0 \leq \theta  \leq 2 \pi

για να πάρω στην συνέχεια το εξωτερικό γινόμενο των μερικών παραγώγων της διανυσματικής συνάρτησης, που απο κει και ύστερα ξεκινάνε παρα πολύ πολύπλοκοι υπολογισμοί και χρειάζεται κομπιούτερ.
Παρόλα αυτά δεν παίρνω το αποτέλεσμα που δίνει η άσκηση, και θα ήθελα μια βοήθεια/υπόδειξη.

Η απάντηση που μου δίνει η άσκηση ειναι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος

\int_{0}^{1} \int_{0}^{2 \pi} \frac{ \sqrt(5)}{2} \rho \,\, d\rho d\theta \,\,\,\, = \pi \frac{\sqrt(5)}{2}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2796
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Σεπ 03, 2018 11:33 pm

Maidenas έγραψε:
Δευ Σεπ 03, 2018 11:04 pm
....Το τμήμα του επιπέδου y+2z=2 στο εσωτερικό του κυλίνδρου x^2+y^2=1 ...
...Απο οπου παίρνουμε την παραμέτρηση:

\vec{r}(\rho ,\theta)=( \rho \cdot cos(\theta) , \rho \cdot sin(\theta) , 1 - \frac{r\cdot cos(\theta)}{2} )

με
0 \leq \rho \leq 1
0 \leq \theta  \leq 2 \pi
....
Κατ' αρχήν, καλώς όρισες στο mathematica.gr.

Ας ξεκινήσουμε με το ότι η παραπάνω παραμετρική παράσταση δεν είναι σωστή. Η σωστή είναι

\vec{r}(\rho ,\theta)=\big( \rho \cos(\theta) , \rho \sin(\theta) , 1 - \frac{\rho\,\sin(\theta)}{2} \big)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Δευ Σεπ 03, 2018 11:41 pm

Ναι με συγχωρείται, την αντέγραψα λάθος απο το τετράδιο την 3η συνιστώσα.
Πράγματι, έτσι ειναι.

Απλώς στην συνέχεια δεν μου βγαίνει.
Άρα ως εκεί είναι σωστό με την διορθωμένη παραμετρικοποιημένη συνάρτηση;

Θα ξανατσεκάρω τους υπολογισμούς μου στο πρόγραμμα Mathematica για την νόρμα του εξωτερικού γινομένου των μερικών παραγώγων μήπως προκύψει το επιθυμητό αποτέλεσμα

Ευχαριστώ για την πληροφορία :)


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Δευ Σεπ 03, 2018 11:48 pm

Τελικά βγαίνει ναιιι ! :)
Μία μέρα ολόκληρη την πολεμούσα!!

Ευχαριστώ πάρα πολύ για την βοήθεια, δεν θα το έβλεπα ποτέ το λάθος!!


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2796
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Σεπ 03, 2018 11:50 pm

Maidenas έγραψε:
Δευ Σεπ 03, 2018 11:41 pm
Ναι με συγχωρείται, την αντέγραψα λάθος απο το τετράδιο την 3η συνιστώσα.
Πράγματι, έτσι ειναι.

Απλώς στην συνέχεια δεν μου βγαίνει.
Άρα ως εκεί είναι σωστό με την διορθωμένη παραμετρικοποιημένη συνάρτηση...
Κάπου πρέπει να έχεις κάνει λάθος στις πράξεις γιατί το κάθετο που χρειάζεσαι βγαίνει εύκολα (με εξωτερικό γινόμενο) ίσο με
\overline{N}(\rho,\theta)=\frac{\rho}{2}\,\overline{e}_{y}+\rho\,\overline{e}_{z} και με μέτρο \big\|\overline{N}(\rho,\theta)\big\|=\frac{\rho\sqrt{5}}{2}.

Και η ολοκλήρωση, κατόπιν, είναι απλή...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 10:54 am

Πάντως για τον υπολογισμό του εμβαδού δεν χρειάζεται καμία παραμέτριση.

Η επιφάνεια έχει κάθετο διάνυσμα το κάθετο του επίπεδου.

Δηλαδή το (0,\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}})

Η γωνία που σχηματίζει με τον z άξονα έχει συνιμίτονο \cos \varphi =\frac{2}{\sqrt{5}}

Η προβολή της επιφάνειας στο x,y επίπεδο είναι ο μοναδιαίος κύκλος που έχει εμβαδό \pi

Ετσι το ζητούμενο εμβαδό είναι \frac{\pi }{\cos \varphi }=\frac{\pi \sqrt{5}}{2}.


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Τρί Σεπ 04, 2018 6:36 pm

Πολύ ωραία απάντηση! :D


Μπορειτε να μου εξηγήσετε λίγο το τελευταίο δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος να το εξηγήσω; πως προκύπτει οτι ο λόγος του εμβαδού του δίσκου προς το συν(φ) των δύο διανυσμάτων των επιπέδων μας δίνει το εμβαδόν της ζητούμενης επιφάνειας ;

Συγγνώμη αν ειναι πολύ εύκολη η απάντηση!


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2699
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Σεπ 04, 2018 6:53 pm

Maidenas έγραψε:
Τρί Σεπ 04, 2018 6:36 pm
Πολύ ωραία απάντηση! :D


Μπορειτε να μου εξηγήσετε λίγο το τελευταίο δεν μου έρχεται κάποιος τρόπος να το εξηγήσω; πως προκύπτει οτι ο λόγος του εμβαδού του δίσκου προς το συν(φ) των δύο διανυσμάτων των επιπέδων μας δίνει το εμβαδόν της ζητούμενης επιφάνειας ;

Συγγνώμη αν ειναι πολύ εύκολη η απάντηση!
Εχουμε τμήματα επιπέδων.
Η γωνία που σχηματίζουν τα επίπεδα είναι φ.
Αυτή η γωνία σχηματίζεται ως εξής
παίρνουμε ένα σημείο της κοινής ευθείας και φέρουμε καθέτους που βρίσκονται στα επίπεδα.
Η γωνία των καθέτων είναι η γωνία των επιπέδων.
Το εμβαδό ενός τμήματος ενός επιπέδου επί το συνημίτονο της γωνίας ισούται με το εμβαδό της προβολής στο άλλο επίπεδο.
Κανε και ένα σχήμα να το δεις καθαρά.


Maidenas
Δημοσιεύσεις: 33
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 17, 2014 1:11 am

Re: ΑΣΚΗΣΗ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Maidenas » Τρί Σεπ 04, 2018 7:49 pm

Πράγματι, ετσι εξηγείται :)
Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες