Συνάρτηση 1 - 1 και ανίσωση

ZF1986 · #1

Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση

$f^{2}\left ( x \right )\leqslant f\left ( x \right )\cdot f\left ( 1-x \right )$ , για κάθε $x \epsilon \mathbb{R}$ .

Να εξετάσετε αν αντιστρέφεται.

Tolaso J Kos · #2

ZF1986 έγραψε: ↑
Δευ Σεπ 24, 2018 10:41 am
Έστω η συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για την οποία ισχύει η σχέση

$f^{2}\left ( x \right )\leqslant f\left ( x \right )\cdot f\left ( 1-x \right )$ , για κάθε $x \epsilon \mathbb{R}$ .

Να εξετάσετε αν αντιστρέφεται.

Για

και

η αρχική σχέση δίδει:

$\displaystyle{\left.\begin{matrix} f^2(0) & \leq & f(0) f(1) \\ f^2(1) & \leq & f(0) f(1) \end{matrix}\right\}\Rightarrow f^2(0) - 2f(0) f(1) + f^2(1) \leq 0 \Rightarrow \left ( f(0) - f(1) \right )^2 \leq 0 \Rightarrow f(0) = f(1) }$
Άρα η

δεν αντιστρέφεται.

Ratio · #3

Αν η δοθείσα ισχύει για κάθε $x\in R$ θέτοντας όπου

το

θα έχουμε:
$f^2(1-x)\leq f(1-x)f(x)$ (2)

Με την δοθείσα προκύπτει
$f^{2}(x)\leq f(x)f(1-x) \\ \\$
$f^{2}(1-x)\leq f(1-x)f(x)$

Προσθέτοντας κατά μέλη θα έχουμε
$f^{2}(x)+f^{2}(1-x)\leq 2f(x)f(1-x)\Leftrightarrow (f(x)-f(1-x))^{2}\leq 0\Leftrightarrow f(x)=f(1-x)$

Συνάρτηση 1 - 1 και ανίσωση

Συνάρτηση 1 - 1 και ανίσωση

Re: Συνάρτηση 1 - 1 και ανίσωση

Re: Συνάρτηση 1 - 1 και ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση