mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Σάβ Νοέμ 10, 2018 6:50 pm**

Έστω

το βαρύκεντρο τριγώνου ABC.

Αν

να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Νοέμ 12, 2018 2:29 am**

Καλή εβδομάδα σε όλους ! Γιώργο μια προσπάθεια :

Από το α' θεώρημα διαμέσων παίρνουμε $4\mu _{b}^{2}=2a^{2}+2c^{2}-b^{2}$ και $4\mu _{c}^{2}=2a^{2}+2b^{2}-c^{2}$ .

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει $4\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=3\left ( b-c \right )\left ( b+c \right ) ...(1)$ .

Ακόμη $AB+GC=AC+GB \Leftrightarrow GC-GB=AC-AB\Leftrightarrow 2\left ( \mu _{c}-\mu _{b} \right )=3\left ( b-c \right ) ...(2)$ .

Με αντικατάσταση του $3\left ( b-c \right )$ η (1)

γίνεται $2\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( \mu _{b}+\mu _{c} \right )=\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right )\left ( b+c \right )..(3)$

Έστω $b \neq c$ τότε $\left ( \mu _{b} -\mu _{c} \right ) \neq 0$ . Με διαγραφή η (3)