Φρικτή υποψία

KARKAR · #1

: Φρικτή υποψία.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 656 φορές

Σημείο

κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου

. Το ημικύκλιο διαμέτρου

τέμνει την

στο σημείο

. Το μέσο

του

είναι φυσικά το κέντρο του μικρού ημικυκλίου .

Μας ενδιαφέρει η μεγιστοποίηση του εμβαδού του πράσινου κυκλικού τμήματος . Έχω την φρικτή

υποψία , ότι αυτό συμβαίνει όταν αυτό ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου MST

!

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 10, 2018 8:08 pm Φρικτή υποψία.pngΣημείο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου . Το ημικύκλιο διαμέτρου τέμνει την

στο σημείο . Το μέσο του είναι φυσικά το κέντρο του μικρού ημικυκλίου .

Μας ενδιαφέρει η μεγιστοποίηση του εμβαδού του πράσινου κυκλικού τμήματος . Έχω την φρικτή

υποψία , ότι αυτό συμβαίνει όταν αυτό ισούται με το εμβαδόν του τριγώνου !

: Φρικτή υποψία.png (15.12 KiB) Προβλήθηκε 588 φορές

Νομίζω ότι έχεις δίκιο Θανάση!

Το μέγιστο επιτυγχάνεται όταν $\displaystyle \sin 2\theta = \theta \Rightarrow \theta \simeq 54,3019^\circ.$

Ωστόσο, θέλω πρώτα να το ελέγξω πριν γράψω τη λύση.

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης. Όπως βλέπω η λύση δόθηκε παρακάτω.

Μπουμπουλής Κώστας · #3

Έστω $\angle SAT=\theta$ (rad)

και

. Τότε το εμβαδόν του τριγώνου MST

είναι $\displaystyle{\left ( MST \right )=\frac{1}{2}x^{2}sin2\theta }$ , το εμβαδόν του κυκλικού τομέα είναι $E_{T}=x^{^{2}}\theta$ και το ζητούμενο εμβαδόν είναι $\displaystyle{E=x^{2}\theta -\frac{1}{2}x^{2}sin2\theta }$ .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο ASB

έχουμε $\displaystyle{cos\theta =\frac{2x}{2R}\Leftrightarrow x=Rcos\theta }$ οπότε το ζητούμενο εμβαδόν γίνεται
$\displaystyle{E\left ( \theta \right )=R^{2}cos^{2}\theta \left ( \theta -\frac{1}{2}sin2\theta \right )}$ . Είναι ${E}'\left ( \theta \right )=R^{2}sin2\theta \left ( sin2\theta -\theta \right )$ που μηδενίζεται όταν $sin2\theta =\theta$
Η δεύτερή παράγωγος είναι $\displaystyle{{E}''\left ( \theta \right )=2R^{2}cos2\theta \left ( sin2\theta-\theta )+R^{2}sin2\theta \left ( cos2\theta -1 \right )}$ που είναι αρνητική όταν $sin2\theta =\theta$ . Άρα το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται όταν $sin2\theta =\theta$ που εύκολα διαπιστώνουμε ότι τότε ισχύει $\displaystyle{\left ( MST \right )=E=\frac{1}{2}x^{2}\theta =\frac{1}{2}\theta R^{2}cos\theta }$ και η φρικτή υποψία επαληθεύθηκε...

Φρικτή υποψία

Φρικτή υποψία

Re: Φρικτή υποψία

Re: Φρικτή υποψία

Μέλη σε σύνδεση