Ριζική διαφορά

KARKAR · #1

: Ριζική διαφορά.png (13.5 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

Στο τετράπλευρο του σχήματος η

διαφέρει από την

κατά

.

Κατά πόσο διαφέρει από την

η - προφανώς μεγαλύτερη -

;

nikkru · #2

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 24, 2018 11:01 pm Ριζική διαφορά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος η διαφέρει από την κατά .

Κατά πόσο διαφέρει από την η - προφανώς μεγαλύτερη - ;

: Ριζική διαφορά.png (12.06 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές

.
Αν

σημείο της

με

τότε οι οξείες γωνίες του ABN

είναι από

και το

ισόπλευρο.

Έτσι, $DA-DC=DK-DC=CK=\sqrt{3}$ αφού CN=3

και η γωνία

είναι

.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Με τριγωνομετρία:

Επειδή το ABCD

είναι τετράπλευρο θα έχει άθροισμα γωνιών $360^{\circ}$ . Άρα $\widehat{D}=60^{\circ}$ .
Έστω ότι οι προεκτάσεις των

και

τέμνονται στο σημείο

. Aπό το ορθογώνιο τρίγωνο DNC

παίρνουμε ότι $\widehat{N}=30^{\circ}$ και από το BNA

ότι $\widehat{N\\B\\A}=60^{\circ}$ . Είναι $\sin \widehat{BNA}=\sin 30^{\circ}=\dfrac{\alpha }{BN}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow BN=2\alpha , \cos \widehat{BNA}=\cos30^{\circ}=\dfrac{AN}{2\alpha }=\dfrac{\sqrt{3}}{2 }\Leftrightarrow AN=\alpha \sqrt{3}$
Στο τρίγωνο DCN

έχουμε:
$\cos \widehat{BNA}=\cos30^{\circ}=\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{2\alpha+\alpha +3 }{\alpha \sqrt{3}+AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 6\alpha +6=3\alpha +\sqrt{3}AD\Leftrightarrow AD=...\dfrac{3\alpha +6}{\sqrt{3}}= \sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right ), \sin \widehat{BNA}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{DC}{ND}\Leftrightarrow DC=\dfrac{ \alpha \sqrt{3} +\sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right )}{2}=\dfrac{\sqrt{3}\left ( \alpha +\alpha +2 \right ) }{2}=..\dfrac{2\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right )}{2}=\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right )$ .
Άρα $AD-DC=\sqrt{3}\left ( \alpha +2 \right )-\sqrt{3}\left ( \alpha +1 \right )=\sqrt{3}\left ( \alpha -\alpha +2-1 \right )=\sqrt{3}$ .

#4

Καλησπέρα σε όλους. Με Τριγωνομετρία επίσης, με τις ελάχιστες παρεμβάσεις στο σχήμα. Αναγκαστικά έφερα τη

.
(Πάντως, αν κάναμε καλλιστεία λύσεων, θα ψήφιζα τη λύση του nikkru).

: 25-11-2018 Γεωμετρία.jpg (72.52 KiB) Προβλήθηκε 1122 φορές

Στο

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \varphi = \frac{a}{{BD}}$ .

Στο BDC

είναι $\displaystyle \sigma \upsilon \nu \left( {120^\circ - \varphi } \right) = \frac{{a + 3}}{{BD}}$ .

Οπότε $\displaystyle \frac{{\sigma \upsilon \nu \left( {120^\circ - \varphi } \right)}}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{a + 3}}{a} \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{1}{2}\sigma \upsilon \nu \varphi + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\eta \mu \varphi }}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{a + 3}}{a} \Leftrightarrow - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\varepsilon \varphi \varphi = 1 + \frac{3}{a}$

$\displaystyle \Leftrightarrow \varepsilon \varphi \varphi = \sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 3 }}{a}$ .

Στο ABD

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \varphi = \frac{{AD}}{a} \Leftrightarrow AD = a\varepsilon \varphi \varphi = a\sqrt 3 + 2\sqrt 3$ .

Στο BDC

είναι $\displaystyle \varepsilon \varphi \left( {120^\circ - \varphi } \right) = \frac{{DC}}{{a + 3}} \Leftrightarrow DC = \left( {a + 3} \right)\frac{{\varepsilon \varphi \varphi + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 \varepsilon \varphi \varphi - 1}} = \left( {a + 3} \right)\frac{{2\sqrt 3 + \frac{{2\sqrt 3 }}{a}}}{{2 + \frac{6}{a}}}$

$\displaystyle = \left( {a + 3} \right)\frac{{a\sqrt 3 + \sqrt 3 }}{{a + 3}} = a\sqrt 3 + \sqrt 3$ .

Οπότε $\displaystyle DC - AD = \sqrt 3$ .

Ριζική διαφορά

Ριζική διαφορά

Re: Ριζική διαφορά

Re: Ριζική διαφορά

Re: Ριζική διαφορά

Μέλη σε σύνδεση