Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου
Πρόβλημα 1
i. Αν , να αποδείξετε ότι .
ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .
Πρόβλημα 3
Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των και .
Πρόβλημα 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.
i. Αν , να αποδείξετε ότι .
ii. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς που ικανοποιούν την εξίσωση
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων, για τα οποία ισχύει .
Πρόβλημα 3
Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των και .
Πρόβλημα 4
Δίνεται παραλληλόγραμμο με . Γράφουμε τους κύκλους διαμέτρων και . Ονομάζουμε και τα σημεία τομής των δύο κύκλων και το μέσον του . Αν και είναι τα συμμετρικά του ως προς και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι κορυφές ρόμβου.
Σωτήρης Λοϊζιάς
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου
i.
ii. Πολλαπλασιάζω επί και τα φέρνω όλα στο πρώτο μέλος:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου
Soteris έγραψε: ↑Δευ Δεκ 10, 2018 10:17 am
Πρόβλημα 3
Ένας γυμναστής γυμνάζει μιαν ομάδα αντρών. Αν τοποθετήσεις τους άντρες σε σειρές, ώστε να προκύπτει μια τετραγωνική διάταξη χρησιμοποιώντας τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό αντρών της ομάδας, τότε του περισσεύουν άντρες. Αν θέλει να αυξήσει κατά έναν τους άντρες σε κάθε σειρά της πιο πάνω τετραγωνικής διάταξης, τότε του λείπουν άντρες.
Να βρείτε τον αριθμό των αντρών της ομάδας που γυμνάζει ο γυμναστής συναρτήσει των και .
Έστω ότι ο γυμναστής έχει άντρες , τοποθετεί άντρες σε κάθε πλευρά του τετραγώνου και του περισσεύουν άντρες. Τότε:
Αν τώρα προσθέσει έναν άντρα σε κάθε σειρά του τεραγώνου,του λείπουν άντρες. Τότε:
Από τις εξισώσεις και είναι:
.
Οπότε, οι άντρες που γυμνάζει ο γυμναστής δίνονται από τον τύπο:
Διερεύνηση: Ο αριθμός των ανδρών πρέπει να είναι θετικός ακέραιος, το ίδιο και οι αριθμοί . Για να είναι όμως
το κλάσμα ακέραιος θα πρέπει ο αριθμός να είναι άρτιος, δηλαδή ο περιττός.
ΥΓ. Αυτά με την προϋπόθεση ότι στη δεύτερη τοποθέτηση παραμένει η τετραγωνική διάταξη, δηλαδή τοποθετεί από έναν
άντρα σε κάθε σειρά και στήλη του τετραγώνου. Αλλιώς θα προκύψει ορθογώνιο και το αποτέλεσμα αλλάζει.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13354
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018, Α΄ Λυκείου
Είναι,
Επειδή όμως και ο είναι θετικός ακέραιος, με δοκιμές βρίσκουμε:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες