Ελάχιστη τιμή

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλό απόγευμα.Το παρόν προέκυψε ως προσπάθεια γενίκευσης άλλου, πρόσφατου θέματος.

: Ελάχιστη τιμή.PNG (14.74 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Τρεις ευθείες τέμνονται ανά δύο στα σημεία A,B,C

. Το σημείο

διατρέχει την ευθεία

ενώ

και

είναι οι ορθές προβολές του στις ευθείες

και

αντίστοιχα.

Να βρεθεί η θέση του ώστε το να γίνει ελάχιστο

και να εξεταστεί αν ισχύει $PM\geq \dfrac{\left ( BAC \right )}{R}$ όπου η ακτίνα του περίκυκλου του τριγώνου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

STOPJOHN · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 21, 2018 3:09 pm
Καλό απόγευμα.Το παρόν προέκυψε ως προσπάθεια γενίκευσης άλλου, πρόσφατου θέματος.
Ελάχιστη τιμή.PNG
Τρεις ευθείες τέμνονται ανά δύο στα σημεία . Το σημείο διατρέχει την ευθεία
ενώ και είναι οι ορθές προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα.

Να βρεθεί η θέση του ώστε το να γίνει ελάχιστο

και να εξεταστεί αν ισχύει $PM\geq \dfrac{\left ( BAC \right )}{R}$ όπου η ακτίνα του περίκυκλου του τριγώνου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Το τετάπλευρο APHM

ειναι εγγράψιμο σε κυκλο γιατί $\hat{HPA}+\hat{AMH}=180^{0}$
Συνεπώς

$\hat{MPA}=\hat{AHM}$
Στο τρίγωνο $APM,\dfrac{PM}{sin\hat{A}}=\dfrac{AM}{sin\hat{APM}}\Leftrightarrow PM=\dfrac{sin}{sin\hat{AHM}}.AM\Leftrightarrow PM=sin\hat{A}.HA,HA\geq AA'$

Οπότε η θέση του σημείου

για να εχουμε το ελάχιστο του

, είναι το ίχνος της καθέτου απο το σημείο

στην ευθεία

$min(PM)=c.sinA.sinB=2R.\dfrac{abc}{8R^{3}}\geq \dfrac{abc}{4R^{2}}$

που ισχύει για ισότητα

Γιάννης

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Δεκ 21, 2018 3:09 pm
Καλό απόγευμα.Το παρόν προέκυψε ως προσπάθεια γενίκευσης άλλου, πρόσφατου θέματος.
Ελάχιστη τιμή.PNG
Τρεις ευθείες τέμνονται ανά δύο στα σημεία . Το σημείο διατρέχει την ευθεία
ενώ και είναι οι ορθές προβολές του στις ευθείες και αντίστοιχα.

Να βρεθεί η θέση του ώστε το να γίνει ελάχιστο

και να εξεταστεί αν ισχύει $PM\geq \dfrac{\left ( BAC \right )}{R}$ όπου η ακτίνα του περίκυκλου του τριγώνου

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα σε όλους!

: Ελάχιστη τιμή.png (24.21 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

$\displaystyle (AMOP) = \frac{{(BAC)}}{2}$ (γενίκευση αυτής, #5 ). Άρα, $\displaystyle \frac{1}{2}R \cdot MP\sin \omega = \frac{{(BAC)}}{2} \Leftrightarrow MP = \frac{{(BAC)}}{{R\sin \omega }} \ge \frac{{(BAC)}}{R}$

με το ελάχιστο να επιτυγχάνεται όταν $\omega=90^\circ.$ Τότε όμως το

γίνεται ύψος του τριγώνου ABC

(πόρισμα του θ. Nagel).

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλό βράδυ.Γιάννη και Γιώργο σας ευχαριστώ για τις ωραίες λύσεις σας !
Ας προβάλω και την δική μου που είναι παρόμοια ως ένα βαθμό με αυτή του Γιάννη.
Τα H,M,A,P

είναι ομοκυκλικά με διάμετρο την

και τότε $PM=AH\cdot \eta \mu A$ , άρα το

γίνεται ελάχιστο όταν το

γίνει ύψος του ABC

Είναι $\upsilon _{a}=\dfrac{2\left ( BAC \right )}{a}$ και $\eta \mu A=\dfrac{a}{2R}$ συνεπώς έχουμε $PM=AH\cdot \eta \mu A \geq \upsilon _{a}\cdot \eta \mu A=\dfrac{2\left ( BAC \right )}{a} \cdot \dfrac{a}{2R} =\dfrac{\left ( BAC \right )}{R}$

Τέλος ίσως θεωρηθεί ενδιαφέρον ένα νέο ζητούμενο:

: Ελάχιστη τιμή 2.PNG (11.5 KiB) Προβλήθηκε 979 φορές

Με τα δεδομένα της αρχικής ανάρτησης να εξεταστεί αν τα ζεύγη των ευθειών και

σχηματίζουν τις μη αμβλείες γωνίες τους ίσες (στο σχήμα να εξεταστεί αν ισχύει $\widehat{AHC}=\widehat{MLO}$ ).

Ειδική περίπτωση αυτού είδαμε στην ανάρτηση του Γιώργου πριν όπου $AH\perp BC \Leftrightarrow MP\perp OA$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων ..ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ και (λόγω προβλεπόμενης απουσίας μου ) Καλές γιορτές σε όλα τα μέλη του

Φιλικά , Γιώργος.

#5

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 24, 2018 7:23 pm

Τέλος ίσως θεωρηθεί ενδιαφέρον ένα νέο ζητούμενο:
Ελάχιστη τιμή 2.PNG
Με τα δεδομένα της αρχικής ανάρτησης να εξεταστεί αν τα ζεύγη των ευθειών και

σχηματίζουν τις μη αμβλείες γωνίες τους ίσες (στο σχήμα να εξεταστεί αν ισχύει $\widehat{AHC}=\widehat{MLO}$ ).

Ειδική περίπτωση αυτού είδαμε στην ανάρτηση του Γιώργου πριν όπου $AH\perp BC \Leftrightarrow MP\perp OA$ .

Ευχαριστώ εκ των προτέρων ..ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ και (λόγω προβλεπόμενης απουσίας μου ) Καλές γιορτές σε όλα τα μέλη του
Φιλικά , Γιώργος.

ΚΑΛΑ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΑ

Θα δείξω ότι $\displaystyle \omega = \varphi + \theta .$

: Ελάχιστη τιμή.β.png (21.97 KiB) Προβλήθηκε 924 φορές

$\displaystyle \omega =A\widehat ML+ M\widehat AL = \varphi + 90^\circ - A\widehat EB = \varphi + 90^\circ - \widehat C = \varphi + \theta$

Με αυτά τα δεδομένα, ενδιαφέρον παρουσιάζει επίσης η σχέση: $\boxed{2R(MP)=a(AH)}$

Ελάχιστη τιμή

Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ελάχιστη τιμή

Μέλη σε σύνδεση