γενίκευση με ορθόκεντρα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

γενίκευση με ορθόκεντρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τετ Δεκ 26, 2018 10:15 pm

Με αφορμή το θέμα του Γιώργου: viewtopic.php?f=20&t=63425

Κάθε διαγώνιος εγγεγραμμένου τετραπλεύρου το διαιρεί σε δύο τρίγωνα. Συνολικά έχουμε, λοιπόν, τέσσερα τρίγωνα.

Να αποδειχτεί ότι τα ορθόκεντρα των τριγώνων αυτών είναι κορυφές τετράπλευρου όμοιου με το αρχικό.



Λέξεις Κλειδιά:
Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Παρ Δεκ 28, 2018 1:47 pm

Έστω O το κέντρο του εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD και A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1} τα ορθόκεντρα των τριγώνων BCD , ACD , ABD , ABC αντίστοιχα .
Τότε AD_{1}=//DA_{1}=2dist(O,BC) συνεπώς AD_{1}A_{1}D # άρα AD=A_{1}D_{1} και ομοίως οι άλλες ισότητες .
Έτσι το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ίσο και όχι απλά όμοιο με το αρχικό .
Συνημμένα
σχήμα.ggb
(53.35 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές
τελευταία επεξεργασία από Stelios V8 σε Παρ Δεκ 28, 2018 8:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 28, 2018 3:54 pm

Stelios V8 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 1:47 pm

Έστω O το κέντρο του εγγράψιμου τετραπλεύρου ABCD και A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1} τα ορθόκεντρα των τριγώνων BCD , ACD , ABD , ABC αντίστοιχα.

Τότε AD_{1}=//DA_{1}=2dist(O,BC)

συνεπώς AD_{1}A_{1}D # άρα AD=A_{1}D_{1} και ομοίως οι άλλες ισότητες.


Έτσι το τετράπλευρο που σχηματίζεται είναι ίσο και όχι απλά όμοιο με το αρχικό .

Να πω, μόνο, ότι η ισότητα των πλευρών δεν είναι κριτήριο ισότητας τετραπλεύρων.


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Παρ Δεκ 28, 2018 9:34 pm

Ναι πολύ σωστά, όμως εδώ είναι ίσα καθώς \angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1} και λοιπά . Επίσης αν K\equiv AA_{1}\cap BB_{1}\cap CC_{1}\cap DD_{1} τότε τα A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1} είναι τα συμμετρικά των A, B, C, D αντίστοιχα ως προς K .


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Δεκ 28, 2018 10:33 pm

Stelios V8 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 9:34 pm
Ναι πολύ σωστά, όμως εδώ είναι ίσα καθώς \angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1} και λοιπά . Επίσης αν K\equiv AA_{1}\cap BB_{1}\cap CC_{1}\cap DD_{1} τότε τα A_{1} , B_{1} , C_{1} , D_{1} είναι τα συμμετρικά των A, B, C, D αντίστοιχα ως προς K .
Τι θα έλεγες για την εξής αιτιολογία:

Είναι ίσα γιατί είναι (ομοιοθετα) σε ομοιοθεσία λόγου 1.

;


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Παρ Δεκ 28, 2018 11:02 pm

Ναι αυτό εννοώ . Βέβαια μπορεί να χάνω κάτι και να μην το έχω καταλάβει! Εξηγήστε μου σας παρακαλώ αν σας είναι εύκολο τι θα έπρεπε να πούμε .


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1914
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Δεκ 29, 2018 1:24 am

Stelios V8 έγραψε:
Παρ Δεκ 28, 2018 11:02 pm
Ναι αυτό εννοώ . Βέβαια μπορεί να χάνω κάτι και να μην το έχω καταλάβει! Εξηγήστε μου σας παρακαλώ αν σας είναι εύκολο τι θα έπρεπε να πούμε .
Λοιπόν, ο τρόπος που σκέφτηκες είναι τρόπος Γεωμέτρη. Μου αρέσει. Και το σχήμα που έβαλες είναι εντυπωσιακό. Στο γράψιμο υστερείς, προς το παρόν, αλλά σίγουρα θα το βελτιώσεις.
(Αν είσαι μαθητής πιάσε χάρακα και διαβήτη. Οχι geogebra. Θα λύσεις λιγότερες ασκήσεις αλλά θα καταλάβεις καλύτερα την Γεωμετρία. Τότε η geogebra θα γίνει πολύτιμο εργαλείο στα χέρια σου)

Καλή χρονιά. Σου εύχομαι κάθε επιτυχία, πρόοδο και ευημερία!


Stelios V8
Δημοσιεύσεις: 31
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 14, 2018 10:42 pm

Re: γενίκευση με ορθόκεντρα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Stelios V8 » Σάβ Δεκ 29, 2018 8:36 pm

Λοιπόν, ο τρόπος που σκέφτηκες είναι τρόπος Γεωμέτρη. Μου αρέσει. Και το σχήμα που έβαλες είναι εντυπωσιακό. Στο γράψιμο υστερείς, προς το παρόν, αλλά σίγουρα θα το βελτιώσεις.
(Αν είσαι μαθητής πιάσε χάρακα και διαβήτη. Οχι geogebra. Θα λύσεις λιγότερες ασκήσεις αλλά θα καταλάβεις καλύτερα την Γεωμετρία. Τότε η geogebra θα γίνει πολύτιμο εργαλείο στα χέρια σου)

Καλή χρονιά. Σου εύχομαι κάθε επιτυχία, πρόοδο και ευημερία!
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για τα λόγια σας και τις συμβουλές που μου δώσατε . Θα κάνω προσπάθεια να πιάνω πιο πολύ χάρακα και διαβήτη και να δουλεύω με χαρτί και μολύβι και όχι με υπολογιστή και geogebra . Έχετε απόλυτο δίκιο σε αυτό . Εύχομαι και εγώ με τη σειρά μου να έχετε μια καλή και ευλογημένη χρονιά με υγεία !


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες