mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2019 10:31 am**

Άσκηση Β4 της 2.3 σχολικού

Δίνονται οι συναρτήσεις $\displaystyle f(x)={{e}^{x}}$ και $\displaystyle g(x)=-{{x}^{2}}-x$ . Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της $\displaystyle {{C}_{f}}$ στο σημείο $\displaystyle A(0,1)$ εφάπτεται και στην $\displaystyle {{C}_{g}}$ .

Το ερώτημα : Έχουν κι άλλη κοινή εφαπτομένη ;

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Ιαν 24, 2019 6:01 pm**

Οι λυσεις του συστήματος
$\displaystyle{e^x=-2y-1 , e^x-xe^x=-y^2-y-y(-2y-1)}$
θα δώσουν τις κοινές εφαπτόμενες
είναι
$\displaystyle{x=ln(-2y-1),(1-x)(-2y-1)=y^2}$
αρα
$\displaystyle{(2y+1)(ln(-2y-1)-1) =y^2}$ ή $\displaystyle{4tlnt+(t-1)^2=0}$ με $\displaystyle{t=-2y-1>0}$
θέτω
$\displaystyle{g(t)=4tlnt+(t-1)^2}$
Εύκολα $\displaystyle{g}$ κυρτή $\displaystyle{g(1)=0}$ $\displaystyle{\lim_{t\to 0}g(t)=-1,g(1/2)>0 }$ άρα υπάρχει άλλη μια ακριβώς εφαπτομένη

mathematica.gr

Κοινή εφαπτομένη

Κοινή εφαπτομένη

Re: Κοινή εφαπτομένη