Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

», ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

», …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

», «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

», …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

» (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των

ατόμων;

2. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο περιμέτρου $10^{100}$ , του οποίου τα μήκη όλων των πλευρών είναι φυσικοί αριθμοί και το άθροισμα των μηκών οποιονδήποτε τριών πλευρών διαιρείται με την εναπομείναντα τέταρτη πλευρά. Να αποδείξετε, ότι αυτό το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

3. Τα κελιά ενός πίνακα $2 \times 2019$ πρέπει να πληρωθούν με αριθμούς (σε κάθε κελί γράφουμε ακριβώς ένα αριθμό) με τους ακόλουθους κανόνες. Στην πάνω γραμμή πρέπει να τοποθετηθούν 2019

πραγματικοί αριθμοί, μεταξύ των οποίων να μην υπάρχουν δυο ίσοι και στη κάτω γραμμή πρέπει τοποθετηθούν οι ίδιοι 2019

αριθμοί, αλλά με διαφορετική σειρά. Σε κάθε μία από τις 2019

στήλες πρέπει να είναι γραμμένοι διαφορετικοί αριθμοί, εξάλλου το άθροισμα αυτών των δυο αριθμών πρέπει να είναι ρητός αριθμός. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός άρρητων αριθμών που μπορεί να υπάρχουν στη πρώτη γραμμή του πίνακα;

4. Η άπειρη ακολουθία μη μηδενικών αριθμών $a_{1}, a_{2}, a_{3},…$ είναι τέτοια, ώστε για όλους τους φυσικούς αριθμούς $n \geq 2018$ ο αριθμός $a_{n+1}$ να είναι η μικρότερη ρίζα του πολυωνύμου $P_{n}(x)=x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+a_{2}x^{2n-4}+…+a_{n}$ . Να αποδείξετε, ότι υπάρχει τέτοιο

, ώστε στην άπειρη ακολουθία $a_{N}, a_{N+1}, a_{N+2}, …$ κάθε όρος να είναι μικρότερος από τον προηγούμενο.

5. Στο μη ισοσκελές τρίγωνο ABC

φέρουμε την διχοτόμο

. Η προέκταση της διαμέσου, που φέρεται από την κορυφή

, τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ , του τριγώνου ABC

στο σημείο

. Από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BDL

, φέρουμε ευθεία

, παράλληλη προς την ευθεία

. Να αποδείξετε, ότι ο κύκλος $\omega$ εφάπτεται της ευθείας

.

Πηγή

Altrian · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Φεβ 04, 2019 10:04 pm Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη

1. Ο καθένας εκ δέκα ατόμων είναι είτε ευγενής και λέει πάντα την αλήθεια, είτε ψεύτης και λέει πάντα ψέματα. Ο καθένας τους σκέφτηκε κάποιο αριθμό (όχι απαραίτητα ακέραιο). Ύστερα ο πρώτος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », ο δεύτερος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του », …, ο δέκατος είπε: «Ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του ». Μετά από αυτό και οι δέκα τους, αναφώνησαν με κάποια σειρά: «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του », …, «Ο αριθμός μου είναι μικρότερος του » (ο καθένας τους είπε μία από αυτές τις φράσεις). Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός ευγενών που μπορεί να υπάρχουν μεταξύ αυτών των ατόμων;

Πηγή

Για την Ασκηση

:

Κατ' αρχήν δεν μπορεί να είναι και οι δέκα ευγενείς γιατί η φράση "ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

" σε συνδυασμό με τις δέκα αναφωνήσεις στο τέλος όπου όλοι είπαν (άμεσα ή έμμεσα) ότι ο αριθμός τους ήταν μικρότερος του

δημιουργεί μια αντίφαση δηλ. ένα ψέμα. Αρα οι ευγενείς θα είναι το πολύ

.
Στο σχήμα φαίνεται μια περίπτωση όπου ο $a_{i}$ λέει τις φράσεις (ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

και μετά "ο αριθμός μου είναι μικρότερος του i+1

") που είναι και οι δύο αληθείς (άρα αυτός είναι ευγενής) πλην του $a_{10}$ που λέει ότι ("ο αριθμός μου είναι μεγαλύτερος του

και στο τέλος ότι "ο αριθμός μου είναι μικρότερος του

). Αυτός είναι και ο μοναδικός "μη ευγενής".
Αρα η απάντηση είναι

αφού η μέγιστη δυνατή είναι και εφικτή.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Φεβ 04, 2019 10:04 pm 3. Τα κελιά ενός πίνακα $2 \times 2019$ πρέπει να πληρωθούν με αριθμούς (σε κάθε κελί γράφουμε ακριβώς ένα αριθμό) με τους ακόλουθους κανόνες. Στην πάνω γραμμή πρέπει να τοποθετηθούν πραγματικοί αριθμοί, μεταξύ των οποίων να μην υπάρχουν δυο ίσοι και στη κάτω γραμμή πρέπει τοποθετηθούν οι ίδιοι αριθμοί, αλλά με διαφορετική σειρά. Σε κάθε μία από τις στήλες πρέπει να είναι γραμμένοι διαφορετικοί αριθμοί, εξάλλου το άθροισμα αυτών των δυο αριθμών πρέπει να είναι ρητός αριθμός. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός άρρητων αριθμών που μπορεί να υπάρχουν στη πρώτη γραμμή του πίνακα;

Ωραία λογική αυτών των θεμάτων!

Σκέφτηκα ότι μπορούμε να θέσουμε $a_1=-a_2,\; a_3=-a_4, \; a_5=-a_6$ κλπ δηλαδή σε κάθε στήλη οι αριθμοί να είναι αντίθετοι. Αυτό ισχύει μέχρι τη στήλη $\begin{matrix} \; \; a_{2016} & \\ \; \;a_{2015} & \end{matrix}$ όπου μετά αφού έχουμε περιττό αριθμό κελιών στις τελευταίες 3 στήλες πρέπει να ισχύει $a_{2017},\; a_{2018}, \; a_{2019}\in Q$ . Δεν μπορούμε να κάνουμε ό,τι στα προηγούμενα γιατί αν σχηματίσουμε τις στήλες $\begin{matrix} \; \; a_{2018} & \\ \; \;a_{2017} & \end{matrix}$ και $\begin{matrix} \; \; a_{2017} & \\ \; \;a_{2018} & \end{matrix}$ θα μείνει $\begin{matrix} \; \; a_{20169} & \\ \; \;a_{2019} & \end{matrix}$ που απορρίπτεται. Άρα ο μεγαλύτερος αριθμός άρρητων που μπορούν να γραφτούν στην πρώτη σειρά είναι $\boxed{2016}$

: Μαθηματική Ολυμπιάδα.png (134.85 KiB) Προβλήθηκε 1777 φορές

Al.Koutsouridis · #4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Τρί Φεβ 05, 2019 2:04 pm Σκέφτηκα ότι μπορούμε να θέσουμε $a_1=-a_2,\; a_3=-a_4, \; a_5=-a_6$ κλπ δηλαδή σε κάθε στήλη οι αριθμοί να είναι αντίθετοι. Αυτό ισχύει μέχρι τη στήλη $\begin{matrix} \; \; a_{2016} & \\ \; \;a_{2015} & \end{matrix}$ όπου μετά αφού έχουμε περιττό αριθμό κελιών στις τελευταίες 3 στήλες πρέπει να ισχύει $a_{2017},\; a_{2018}, \; a_{2019}\in Q$ . Δεν μπορούμε να κάνουμε ό,τι στα προηγούμενα γιατί αν σχηματίσουμε τις στήλες $\begin{matrix} \; \; a_{2018} & \\ \; \;a_{2017} & \end{matrix}$ και $\begin{matrix} \; \; a_{2017} & \\ \; \;a_{2018} & \end{matrix}$ θα μείνει $\begin{matrix} \; \; a_{20169} & \\ \; \;a_{2019} & \end{matrix}$ που απορρίπτεται. Άρα ο μεγαλύτερος αριθμός άρρητων που μπορούν να γραφτούν στην πρώτη σειρά είναι $\boxed{2016}$

Κατασκεύασες ένα πίνακα και έδειξες, ότι για αυτό το πίνακα το μέγιστο είναι 2016

άρρητοι. Για να θεωρηθεί όμως η λύση πλήρης θα πρέπει να δείξουμε, ότι και για οποιαδήποτε άλλη (κατασκευή) τοποθέτηση αριθμών δεν μπορούμε να υπερβούμε το 2016

.

Ορέστης Λιγνός · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Φεβ 04, 2019 10:04 pm Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη

2. Δίνεται κυρτό τετράπλευρο περιμέτρου $10^{100}$ , του οποίου τα μήκη όλων των πλευρών είναι φυσικοί αριθμοί και το άθροισμα των μηκών οποιονδήποτε τριών πλευρών διαιρείται με την εναπομείναντα τέταρτη πλευρά. Να αποδείξετε, ότι αυτό το τετράπλευρο είναι ρόμβος.

Έστω

οι πλευρές του τετραπλεύρου ABCD

. Έστω, $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$ .

Τότε, είναι $d \mid a+b+c \leqslant 3d$ .

Ακόμη είναι γνωστό ότι a+b+c>d

(*), άρα $a+b+c \in \{ 2d, 3d \}$ .

Αν $a+b+c=2d \Rightarrow 10^{100}-d=2d \Rightarrow 3d=10^{100}$ , άτοπο.

Αν a+b+c=3d

, τότε

.

Το

έχει λοιπόν όλες του τις πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος.

(*) Πράγματι, από την τριγωνική ανισότητα AB+BC+CD>AC+CD>DA

.

#6

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Φεβ 04, 2019 10:04 pm Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.

5. Στο μη ισοσκελές τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Η προέκταση της διαμέσου, που φέρεται από την κορυφή , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ , του τριγώνου στο σημείο . Από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , φέρουμε ευθεία , παράλληλη προς την ευθεία . Να αποδείξετε, ότι ο κύκλος $\omega$ εφάπτεται της ευθείας .

Πηγή

Επαναφορά. Χωρίς τριγωνομετρία...

Al.Koutsouridis · #7

Πανρωσική Μαθητική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/2019.
1η μέρα: Θέματα της 3ης φάσης για την 10η τάξη

5. Στο μη ισοσκελές τρίγωνο φέρουμε την διχοτόμο . Η προέκταση της διαμέσου, που φέρεται από την κορυφή , τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο $\omega$ , του τριγώνου στο σημείο . Από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου , φέρουμε ευθεία , παράλληλη προς την ευθεία . Να αποδείξετε, ότι ο κύκλος $\omega$ εφάπτεται της ευθείας .

: panrwsikh_2019_round3_class10_day1_pr5.png (30.32 KiB) Προβλήθηκε 1417 φορές

Έστω

το δεύτερο σημείο τομής της ευθείας

με το κύκλο $\omega$ . Τότε το

είναι το μέσο του τόξου

. Από το σημείο

φέρουμε κάθετη προς την πλευρά

. Τότε αυτή η κάθετη θα διέρχεται από το μέσο

της

και ας είναι

το δέυτερο σημείο τομής της με το κύκλο $\omega$ .

H

είναι διάμετρος του $\omega$ . Οπότε θα έχουμε $\angle KBN=\angle LMN =90^0$ . Άρα τα σημεία B,L,M,N

είναι ομοκυκλικά.

Έχουμε $\angle LND = \angle LNM +\angle KND = \angle LBM+\angle KBD=\angle LBD=+\angle LBD= 2\angle LBD=\angle LOD$ . Άρα τα σημεία L,D,O,N

είναι ομοκυκλικά (όπου

το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BLD

).

Από τις παραπάνω ομοκυκλικότητες έχουμε:

$\angle LNO+\angle MLN = (180^0-\angle LDO) +(90^0-\angle LNM)=$
$\quad =180^0-\left ( 90^0-\dfrac{1}{2} \angle LOD \right) +(90^0-\angle LBD)$
$\quad =180^0-90^0 +\dfrac{1}{2} \angle LOD +90^0 -\dfrac{1}{2} \angle LOD$
$\quad =180^0$

Οπότε ON || AC

και επακόλουθα $ON \perp NK$ . Άρα η ευθεία

εφάπτεται του κύκλου $\omega$ . Από σημείο εκτός ευθείας όμως διέρχεται μοναδική παράλληλη προς αυτή την ευθέια. Επομένως οι ευθείες

και

ταυτίζονται και η ευθεία

εφάπτεται του $\omega$ .

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Re: Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2018/19 (ΦΙΙΙ 10η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση