όριο

xarit · #1

Καλησπέρα.
Ν.β το όριο: $\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,[cos\sqrt{x^2+3}-cosx]=l$
Κάνω ΘΜΤ στο $[x,\sqrt{x^2+3]$ για την f(x)=cosx και βρίσκω $f'(t)=\dfrac{cos\sqrt{x^2+3}-cosx}{\sqrt{x^2+3}-x}$
Άρα $l=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,f'(t)\cdot(\sqrt{x^2+3}-x)=f'(t)\cdot 0=0$
Υπάρχει κάποιο λάθος;Έχω την εντύπωση ότι δεν είναι σωστό αλλά δεν ξέρω γιατί.

Tolaso J Kos · #2

xarit έγραψε: Τετ Μαρ 06, 2019 1:28 am Καλησπέρα.
Ν.β το όριο: $\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,[cos\sqrt{x^2+3}-cosx]=l$
Κάνω ΘΜΤ στο $[x,\sqrt{x^2+3]$ για την f(x)=cosx και βρίσκω $f'(t)=\dfrac{cos\sqrt{x^2+3}-cosx}{\sqrt{x^2+3}-x}$
Άρα $l=\underset{x\to +\infty}{\mathop{\lim}}\,f'(t)\cdot(\sqrt{x^2+3}-x)=f'(t)\cdot 0=0$
Υπάρχει κάποιο λάθος;Έχω την εντύπωση ότι δεν είναι σωστό αλλά δεν ξέρω γιατί.

Ναι, και μάλιστα είναι πολύ βασικό! Αυτό το

που βρίσκεις δεν είναι σταθερά , αλλά εξαρτάται κάθε φορά από το διάστημα $\left[x, \sqrt{x^2+3} \right]$ . Ουσιαστικά υπάρχει $t_x \in \left[x, \sqrt{x^2+3} \right]$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f'\left(t_x\right) = \frac{\cos\sqrt{x^2+3}-\cos x}{\sqrt{x^2+3}-x}}$
Συνεπώς , έχεις να βρεις το όριο $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f'(t_x) \left( \sqrt{x^2+3} - x \right)}$ το οποίο δεν είναι ευκολότερο και από το αρχικό.

Σημείωση 1: Το όριο κάνει

. Αφήνεται στον αναγνώστη η απόδειξη.

Σημείωση 2: Αν και αυτή η τεχνική είναι ευρέως γνωστή , καλό είναι να αποφεύγεται από μαθητές Λυκείου εκτός και αν ξέρουν τι κάνουν. Δείτε σχετική παλιά συζήτηση εδώ.

stranger · #3

Μπορείς απλά να πεις ότι επειδή f'(x)=-sinx

έχουμε $|f'(t_{x})| \leq 1$ και επίσης $\sqrt{x^2+3}-x \rightarrow 0$ όταν $x \rightarrow +\infty$ . Οπότε το όριο κάνει 0.

Tolaso J Kos · #4

stranger έγραψε: Τετ Μαρ 06, 2019 5:34 am Μπορείς απλά να πεις ότι επειδή έχουμε $|f'(t_{x})| \leq 1$ και επίσης $\sqrt{x^2+3}-x \rightarrow 0$ όταν $x \rightarrow +\infty$ . Οπότε το όριο κάνει 0.

Πρώτον , η

δεν κάνει τόσο. Δεύτερον, ακόμα και αν $|f'(t_x) | \leq 1$ δεν εγγυάται κανείς ότι το όριο θα κάνει

αφού το όριο της

μπορεί καν να μην υπάρχει. Όπως το βλέπω , θέλει λίγη δουλίτσα!

stranger · #5

Νομίζω πως κάνεις λάθος.Έχουμε f(x)= cosx

άρα προφανώς f'(x)=-sinx

.
Τι σημασία έχει αν υπάρχει το όριο της

? Αφού $|f'(t_{x})| \leq 1$ έχουμε μηδενική επί φραγμένη. Άρα το όριο κάνει 0.

όριο

όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Re: όριο

Μέλη σε σύνδεση