AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

#1

Έστω R το μέρος του επιπέδου, που περιέχει τα σημεία (x,y)
x,y πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει:

1) $\displaystyle{ |x| - |y| \le 1 }$

και

2) $\displaystyle{ |y| \le 1 }$

Προσδιορίστε την περιοχή R
(αν υπάρχει κάποιος μερακλής, ας το..σχεδιάσει κιόλας!)
και βρείτε το εμβαδόν της.

Χριστός Ανέστη και χρόνια πολλά.

Ωmega Man · #2

Ας κάνω μια προσπάθεια.
Παίρνοντας τις ανισότητες καταλήγουμε στο παρακάτω σχήμα. (ελπίζω να είναι σωστό και ας αφήσω το εμβαδόν για κάποιον άλλο "μερακλή").

Ωmega Man · #3

Για το παραπάνω πήρα ,
$\displaystyle{\bf |x|\leq|y|+1\Rightarrow -|y|-1\leq x\leq |y|+1}$ και $\displaystyle{\bf |y|\leq 1}$ . Που έχω λάθος; Η πρώτη ανισότητα ισχύει;

#4

Αν δεν κάνω λάθος είναι:

Ωmega Man · #5

Ναι σωστά ..... Αφήνω και το λάθος για να παραδειγματίζει .

Μάκης Χατζόπουλος · #6

Εγώ διακρίνω περιπτώσεις και βρίσκω τα εξής:

Για $\displaystyle{ x,y \ge 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x - y \le 1} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \le 2} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. }$

Για $\displaystyle{ x,y < 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - x + y \le 1} \\ { - 1 \le y < 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \ge - 2} \\ { - 1 \le y < 0} \\ \end{array}} \right. }$

Επίσης $\displaystyle{ x > 0\^y < 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x + y \le 1} \\ { - 1 \le y < 0} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \ge 2} \\ { - 1 \le y < 0} \\ \end{array}} \right. }$

Τέλος, $\displaystyle{ x < 0\^y > 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - x - y \le 1} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \ge - 2} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. }$

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Μιχάλη θα συμφωνήσω και το σχήμα σου συμπληρώνει την λύση μου! Άρα έχουμε δύο τραπέζια με βάσεις 4 και 2, ενώ το ύψος είναι 1, οπότε για να ολοκληρώσουμε την λύση, το εμβαδόν είναι: $\displaystyle{ 2 \cdot \frac{{4 + 2}}{2} \cdot 1 = 6 }$

#8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ διακρίνω περιπτώσεις και βρίσκω τα εξής:

Για $\displaystyle{ x,y \ge 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x - y \le 1} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \le 2} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. }$

Μάκη, με μία μικρή διόρθωση οι σχέσεις σου είναι σωστές: Δεν ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία. Π.χ. τα x = 1,9 και y = 0,8 ικανοποιούν τις δεύτερες σχέσεις αλλά όχι τις πρώτες. Το σωστό είναι αντί για $x \le 2 \,$ να γράψεις $y \ge x-1 \,$ (που σημαίνει ότι το (x,y) είναι πάνω από την ευθεία y = x-1).

Φιλικά,

Μιχάλης

Ιστοσελίδα · #9

με προλάβατε....
και αλλιώς το εμβαδό
Το εμβαδό της επιφάνειας αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{ \sqrt 2 }$ και τέσσερα ίσα τρίγωνα με βάση 2 και ύψος 1 οπότε έχουμε

$\displaystyle{ {\rm E} = \sqrt 2 ^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 6 }$ τετραγωνικές μονάδες

p_gianno · #10

Ρίχτε μια ματιά (για εμπλουτισμό) και σε αυτό που είναι ανάλογου ύφους . Ερώτηση 25 (έχει και τη λύση)
http://www.wpr3.co.uk/UKMT/teachers/SMC08.html

#11

Ωραία θέματα Πάνο!
Νομίζω πως οι συνάδελφοι που ενδιαφέρονται έχουν άλλο έναν άσσο στο μανίκι!
Να'σαι καλά!

Ωmega Man · #12

Ρίχτε μια ματιά (για εμπλουτισμό) και σε αυτό που είναι ανάλογου ύφους . Ερώτηση 25 (έχει και τη λύση)
http://www.wpr3.co.uk/UKMT/teachers/SMC08.html

μου θύμισαν ερωτήσεις από τεστ iq .

Μάκης Χατζόπουλος · #13

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:με προλάβατε....
και αλλιώς το εμβαδό
Το εμβαδό της επιφάνειας αποτελείται από ένα τετράγωνο πλευράς $\displaystyle{ \sqrt 2 }$ και τέσσερα ίσα τρίγωνα με βάση 2 και ύψος 1 οπότε έχουμε

$\displaystyle{ {\rm E} = \sqrt 2 ^2 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 6 }$ τετραγωνικές μονάδες

Σπύρο προκύπτει και με άλλους τρόπους πχ. το εμβαδόν ορθογωνίου μείον το εμβαδόν των (ίσων) τριγώνων... κτλ

Όντως ωραία θέματα, αλλά μερικά τα χάνω λόγω προβληματικών Αγγλικών!

Μάκης Χατζόπουλος · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Εγώ διακρίνω περιπτώσεις και βρίσκω τα εξής:

Για $\displaystyle{ x,y \ge 0:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x - y \le 1} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x \le 2} \\ {0 \le y \le 1} \\ \end{array}} \right. }$
Μάκη, με μία μικρή διόρθωση οι σχέσεις σου είναι σωστές: Δεν ισχύει η παραπάνω ισοδυναμία. Π.χ. τα x = 1,9 και y = 0,8 ικανοποιούν τις δεύτερες σχέσεις αλλά όχι τις πρώτες. Το σωστό είναι αντί για $x \le 2 \,$ να γράψεις $y \ge x-1 \,$ (που σημαίνει ότι το (x,y) είναι πάνω από την ευθεία y = x-1).

Φιλικά,

Μιχάλης

Πολύ σωστά Μιχάλη, κεκτημένη ταχύτητα και σύγχυση με το σύστημα των εξισώσεων... το αφήνω για διδακτικούς σκοπούς!

AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Re: AΣ-ΕΠΙΚΟ ΕΡΩΤΗΜΑ 2

Μέλη σε σύνδεση