mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 10:06 am**

Έστω η $f(x)=2x-x^{2}$ . Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από την αρχή των αξόνων και χωριζει σε δύο ισεμβαδικά χωρία το χωρίο που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

και τον

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 11:36 am**

Έχω $f(x) = 2x - {x^2}$ και έστω $g(x) = y = ax\,\,\,,a > 0$ η ευθεία που ζητώ.

Το κοινό τους σημείο $A({x_0},{y_0})$ προκύπτει από τη λύση του συστήματος :

$\left\{ \begin{gathered} y = 2x - {x^2} \hfill \\ y = ax \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 - a \hfill \\ y = f(2 - a) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ πρέπει :

: Διαμερισμός χωρίου.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 1606 φορές

$\int_0^{2 - a} {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx = \dfrac{1}{2}\int_0^2 {f(x)dx} }$ και προκύπτει εύκολα ότι :

$\dfrac{{{{\left( {2 - a} \right)}^3}}}{6} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \boxed{a = 2 - \sqrt[3]{4}}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 12:34 pm**

Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Νίκου.

: 31-3-2019 Ανάλυση.png (44.28 KiB) Προβλήθηκε 1578 φορές

Για κάθε $\displaystyle x \in \left[ {0,2} \right]$ είναι $f(x) \geq 0$ , οπότε το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της

και τον οριζόντιο άξονα είναι
$\displaystyle E = \int_0^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \left[ {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_0^2 = \frac{4}{3}$ τ.μ.

Έστω (e): y=ax, a > 0

ευθεία διερχόμενη από την αρχή των αξόνων, η οποία τέμνει τη C_f

στο $\displaystyle A\left( {{x_0},\;2{x_0} - x_0^2} \right),\;\;{x_0} > 0$ . Φέρνουμε

κάθετη στον x΄x

.

Είναι $\displaystyle a{x_0} = 2{x_0} - x_0^2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 - a$ .

Το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από την ευθεία (e)

, τη

και τον οριζόντιο άξονα είναι $\displaystyle {E_1} = \left( {AOB} \right) + \int_{2 - a}^2 {\left( {2x - {x^2}} \right)dx} = \frac{{{{\left( {2 - a} \right)}^2} \cdot a}}{2} + \left[ {{x^2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right]_{2 - a}^2 = \frac{{{a^3} - 6{a^2} + 12a}}{6}$ .

Οπότε, πρέπει και αρκεί $\displaystyle \frac{{{a^3} - 6{a^2} + 12a}}{6} = \frac{4}{6} \Leftrightarrow {a^3} - 6{a^2} + 12a - 4 = 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^3} - 6{a^2} + 12a - 8 = -4 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^3} = -4 \Leftrightarrow a = 2 - \sqrt[3]{4}$

ΣΧΟΛΙΟ-ΕΡΩΤΗΜΑ: Ο σχηματισμός τέλειου κύβου στο πρώτο μέλος της εξίσωσης στο τελευταίο βήμα της επίλυσης είναι καθοριστικός στη βαθμολόγηση μιας απάντησης σε εξετάσεις;

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Μαρ 31, 2019 1:54 pm**

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Κυρ Μαρ 31, 2019 12:34 pm Καλημέρα σε όλους. Λίγο διαφορετικά από τη λύση του Νίκου.

ΣΧΟΛΙΟ-ΕΡΩΤΗΜΑ: Ο σχηματισμός τέλειου κύβου στο πρώτο μέλος της εξίσωσης στο τελευταίο βήμα της επίλυσης είναι καθοριστικός στη βαθμολόγηση μιας απάντησης σε εξετάσεις;

Ακριβώς Γιώργο :

$\displaystyle \int_0^{2 - a} {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx = } \int_0^{2 - a} {\left( {2x - {x^2} - ax} \right)dx = } \left[ {{x^2} - \dfrac{{{x^3}}}{3} - a\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right]_0^{2 - a}$ ή

$\displaystyle \int_0^{2 - a} {\left( {f(x) - g(x)} \right)dx = } \left[ {{x^2}\left( {1 - \dfrac{x}{3} - \dfrac{a}{2}} \right)} \right]_0^{2 - a} = {(2 - a)^2}\left( {\dfrac{{6 - 2(2 - a) - 3a}}{6}} \right) = \dfrac{{{{\left( {2 - a} \right)}^3}}}{6}$