Ύπαρξη ρίζας

ann79 · #1

Χρόνια πολλά!

Να δείξετε ότι η εξίσωση $x-b^{2}sinx=b^{2}, b\neq 0$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει το $2b^{2}$ .

Tolaso J Kos · #2

ann79 έγραψε: Δευ Απρ 29, 2019 8:49 pm Χρόνια πολλά!

Να δείξετε ότι η εξίσωση $x-b^{2}sinx=b^{2}, b\neq 0$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα που δεν υπερβαίνει το $2b^{2}$ .

Θεωρούμε συνάρτηση $f(x)=x-\beta^2 \sin x - \beta^2$ . Είναι $f(0)=-\beta^2 <0$ και $f\left ( 2\beta^2 \right )= 2\beta^2 -\beta^2 \sin 2\beta^2-\beta^2 = \beta^2 \left ( 1 - \sin 2\beta^2 \right ) \geq 0$ . Συνεπώς επειδή η

είναι συνεχής στο $[0, 2\beta^2]$ από Θεώρημα Bolzano έπεται η ύπαρξη μίας τουλάχιστον θετικής ρίζας.

Τώρα, αν $\rho$ είναι αυτή η ρίζα τότε θα ισχύει:

$\displaystyle{\rho -\beta^2 \sin \rho = \beta^2 \Leftrightarrow \rho = \beta^2 \sin \rho + \beta^2 \leq \beta^2 + \beta^2 =2\beta^2}$
και το αποτέλεσμα έπεται.

Tolaso J Kos · #3

R BORIS έγραψε:Τι σου θυμίζει από το μακρινό παρελθόν;

Ύπαρξη ρίζας

Ύπαρξη ρίζας

Re: Ύπαρξη ρίζας

Re: Ύπαρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση