mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm**

ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 29, 2019 9:11 pm**

ann79 έγραψε: Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ .

Από τη δοσμένη προκύπτει ότι $f'(x)\geq 1$ (1).
Από ΘΜΤ στο [0,x]

παίρνουμε πως υπάρχει

στο διάστημα αυτό ώστε:

$f'(k)=\dfrac {f(x)-f(0)}{x}$ όμως από την (1) προκύπτει $f(x)\geq x+f(0)$ και το ζητούμενο προκύπτει παίρνοντας τα όρια στο +άπειρο.

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 29, 2019 9:12 pm**

ann79 έγραψε: Δευ Απρ 29, 2019 9:00 pm ΓΙα την παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με $f'(x)\geq x^{2}+1, x\epsilon R$ , να δείξετε ότι $lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ .

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x) \geq x^2+1 &\Rightarrow \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t \geq \int_{0}^{x} \left ( t^2+1 \right ) \; \mathrm{d}t \\ &\Rightarrow f(x) - f(0) \geq \frac{x^3}{3} + x \\ &\Rightarrow f(x) \geq \frac{x^3}{3} + x + f(0) \end{aligned}}$
Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) &\geq \lim_{x\rightarrow +\infty} \left ( \frac{x^3}{3} + x + f(0) \right ) \\ &= +\infty \end{aligned}}$
Οπότε , όντως , $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty}$ .

Δημοσιεύτηκε: **Δευ Απρ 29, 2019 9:18 pm**

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{h(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}-x}$ , για την οποία έχουμε ότι $\displaystyle{h' (x)=f' (x)-x^2 -1 \geq 0}$

Άρα η

είναι αύξουσα οπότε αν $\displaystyle{x\geq 0}$ τότε $\displaystyle{h(x)\geq h(0)}$ , δηλαδή $\displaystyle{h(x)\geq f(0)}$ . Συνεπώς:

$\displaystyle{f(x)-\frac{x^3}{3}-x \geq f(0)}$ και άρα $\displaystyle{f(x)\geq f(0)+\frac{x^3}{3}+x}$ . Όμως:

$\displaystyle{lim_{x\rightarrow +\propto} [f(0)+\frac{x^3}{3}+x]=+\propto}$ . Άρα $\displaystyle{lim_{x\rightarrow +\propto}f(x)=+\propto}$

mathematica.gr

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο