Ύπαρξη συνάρτησης

Εδώ θα καταχωρούνται ασκήσεις οι οποίες συνδυάζουν τουλάχιστον δύο διαφορετικά εκ των παραπάνω κεφάλαια και έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα.

Συντονιστής: Καρδαμίτσης Σπύρος

Απάντηση
ann79
Δημοσιεύσεις: 258
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 30, 2014 4:45 pm

Ύπαρξη συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ann79 »

Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο R-\{2\} με f'(x)(x-2)-f(x)=0 της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(1,3),B(3,4) .
Ετικέτες:
ύπαρξη-συνάρτησης
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 14965
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis »

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο R-\{2\} με f'(x)(x-2)-f(x)=0 της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(1,3),B(3,4) .

\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 6,x < 2\\ \\ 4x - 8,x \ge 2 \end{array} \right.
Κορυφή
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 849
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας »

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο R-\{2\} με f'(x)(x-2)-f(x)=0 της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(1,3),B(3,4) .
Για x\neq 2 έχουμε

f'(x)(x-2)-f(x)=0\Rightarrow f'(x)(x-2)-f(x){(x-2)}'=0\Rightarrow

\dfrac{f'(x)(x-2)-f(x){(x-2)}'}{(x-2)^2}=0 \Rightarrow {\left (\dfrac{f(x)}{x-2} \right )}'=0.

Άρα \dfrac{f(x)}{x-2}=c_1 στο (-\infty,2) και \dfrac{f(x)}{x-2}=c_2 στο (2,+\infty).

Επομένως f(x)=c_1x-2c_1 στο (-\infty,2) και f(x)=c_2x-2c_2 στο (2,+\infty).

Από τα δοσμένα σημεία παίρνουμε c_1=-3 και c_2=4. Άρα η συνάρτησή μας είναι η f(x)=\begin{cases} -3x+6 & \text{ if } x\leq 2 \\ 4x-8& \text{ if } x> 2 \end{cases}

η οποία εύκολα επαληθεύουμε ότι είναι συνεχής παντού και παραγωγίσιμη για κάθε x\neq 2.
Κορυφή
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3714
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ύπαρξη συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ »

ann79 έγραψε: Τρί Απρ 30, 2019 4:44 pm Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f συνεχής στο R, παραγωγίσιμη στο R-\{2\} με f'(x)(x-2)-f(x)=0 της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία A(1,3),B(3,4) .
Η σχέση f'(x)(x-2)-f(x)=0 δείχνει ότι οι εφαπτομένες στην γραφική παράσταση περνάνε

όλες από το (2,0).

Εύκολα βλέπουμε ότι για x\neq 2 υπάρχει η f''

Παραγωγίζοντας παίρνουμε ότι (x-2)f''(x)=0

Ετσι στα διαστήματα (-\infty ,2),(2,\infty )

η f είναι τμήμα ευθείας .

Επειδή θέλουμε η f να είναι συνεχής και f(2)=0

θα είναι
f(x)=a(x-2) για x\in [2,\infty )
και
f(x)=b(x-2) για x\in (-\infty,2 ]

Από την f(1)=3 βρίσκουμε ότι b=-3

ενώ από την f(3)=4 ότι a=4
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ Γ'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες