Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Al.Koutsouridis · #1

Μερικά θέματα (τύπου Β, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2015.

20. Στην εικόνα φαίνεται ένα ισοσκελές τίγωνο ABC

και ο εγγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας

, με $\angle CAB=\angle BCA = \theta$ . Το

είναι σημείο της προέκτασης του ευθύγραμμου τμήματος

προς το

, για το οποίο ισχύει $\angle DCB = \theta$ . Αν με $S(\theta)$ συμβολίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου BDC

, ποιά είναι η τιμή του $\displaystyle{\lim_{\theta\to 0^{+}} \theta \cdot S(\theta)}$ ; (όπου $\left ( 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right )$ ) [Μόρια 4] (Το θέμα αυτό ήταν πολλαπλής επιλογής ανάμεσα από πέντε επιλογές)

: korea_2015_b_20.png (41.85 KiB) Προβλήθηκε 3107 φορές

24. Υπολογίστε την τιμή του k^2

, όπου

το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $x^2-6x-\sqrt{x^2-6x-1}=3$ . [Μόρια 4]

26. Να βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων τριάδων (a,b,c)

των φυσικών αριθμών a,b,c

που ικανοποιούν τις συνθήκες:
Α) το γινόμενο $a\cdot b \cdot c$ είναι περιττός αριθμός
Β) $a \leq b \leq c \leq 20$ . [Μόρια 4]

27. Δίνεται η έλλειψη $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ με εστίες τα σημεία

με θετική τετμημένη και $F^{\prime}$ με αρνητική τετμημένη. Έστω

σημείο της έλλειψης με θετική τεταγμένη για το οποίο $\angle FPF^{\prime} =\pi/2$ . Στην προέκταση του τμήματος

προς το σημείο

θεωρούμε σημείο

, ώστε

. Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου $QF^{\prime}F$ ; [Μόρια 4]

: korea_2015_b_27.png (38.19 KiB) Προβλήθηκε 3107 φορές

28. Για τον θετικό αριθμό

, η μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle f(x)={\int_{0}^{x} \left ( a-t \right )e^t dt}$ είναι

. Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη y=3e^x

και τις ευθείες x=a

,

. [Μόρια 4]

29. Στον καρτεσιανό χώρο δίνεται η σφαίρα S: x^2+y^2+z^2=50

και το σημείο P(0,5,5)

. Για όλους τους κύκλους

που ικανοποιούν τις συνθήκες:
Α) ο κύκλος

παράγεται από την τομή επιπέδου, που διέρχεται από το σημείο

, με την σφαίρα

.
B) η ακτίνα του κύκλου

είναι ίση με

ας είναι $\dfrac{q}{p} \pi$ η μέγιστη τιμή του εμβαδού της ορθογώνιας προβολής του

στο επίπεδο

. Να βρείτε την τιμή p+q

(όπου

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί). [Μόρια 4]

: korea_2015_b_29.png (50.79 KiB) Προβλήθηκε 3107 φορές

30. Δίνεται η συνάρτηση $f\left ( x\right ) = e^{x+1}-1$ και η συνάρτηση $g\left ( x\right )$ που ορίζεται από την έκφραση

$\displaystyle g\left ( x\right ) = 100 \left | f\left ( x\right ) \right |- \sum_{k=1}^{n} \left | f\left ( x^k \right ) \right |$ , όπου

φυσικός αριθμός.

Υπολογίστε το άθροισμα όλων των φυσικών αριθμών

, για τους οποίους η $g\left ( x\right )$ είναι παραγωγίσιμη σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. [Μόρια 4]

Edit: 21/05/2019. Έγινε τροποποίηση στην εκφώνηση του προβλήματος 29.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 9:48 pm
28. Για τον θετικό αριθμό , η μέγιστη τιμή της συνάρτησης $\displaystyle{\int_{0}^{x} \left ( a-t \right )e^t dt}$ είναι . Να βρείτε το εμβαδόν που περικλείεται από την καμπύλη και τις ευθείες , . [Μόρια 4]

Θέτουμε $F(x)=\displaystyle{\int_{0}^{x} \left ( a-t \right )e^t dt}$ , οπότε F'(x)=(a-x)e^x

, άρα η

μεγιστοποιείται για x=a

, συνεπώς $\displaystyle{\int_{0}^{a} \left ( a-t \right )e^t dt}=32$ και e^a-a-1=32

.

Το ζητούμενο εμβαδόν ισούται προς $\displaystyle{\int_{0}^{a}(3e^x-3)dx}=3e^a-3a-3=3\cdot32=96$ .

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 9:48 pm Μερικά θέματα (τύπου Β, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2015.

20. Στην εικόνα φαίνεται ένα ισοσκελές τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του ακτίνας , με $\angle CAB=\angle BCA = \theta$ . Το είναι σημείο της προέκτασης του ευθύγραμμου τμήματος προς το , για το οποίο ισχύει $\angle DCB = \theta$ . Αν με $S(\theta)$ συμβολίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου , ποια είναι η τιμή του $\displaystyle{\lim_{\theta\to 0^{+}} \theta \cdot S(\theta)}$ ; (όπου $\left ( 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right )$ ) [Μόρια 4] (Το θέμα αυτό ήταν πολλαπλής επιλογής ανάμεσα από πέντε επιλογές)

Καλό μου φαίνεται. Αναρωτιέμαι αν "πέσει" κάτι τέτοιο στην Ελλάδα τι θα γίνει;

Υπολογίζουμε:

$AC=\dfrac{2}{tan\dfrac{\theta }{2}},\,\,\,BC=\dfrac{1}{tan\dfrac{\theta }{2}cos\theta },\,\,\,BD=BC\dfrac{sin\theta }{sin3\theta }$

Το ύψος από το

, επί της

είναι : $h=BCsin2\theta$ , οπότε:

$\theta S(\theta )=\dfrac{\theta }{2}(BD)h=\dfrac{\theta }{2}(BC)^2\dfrac{sin\theta sin2\theta }{sin3\theta }$

$=\dfrac{\theta }{2}\left ( \dfrac{1}{tan\dfrac{\theta }{2}cos\theta } \right )^2 \dfrac{sin\theta sin2\theta }{sin3\theta }$

$=\dfrac{4}{3}\left ( \dfrac{\dfrac{\theta }{2}}{tan\dfrac{\theta }{2}cos\theta } \right )^2 \dfrac{\dfrac{sin\theta}{\theta } \dfrac{sin2\theta }{2\theta }}{\dfrac{sin3\theta}{3\theta } }$

με όριο $\dfrac{4}{3}$

#4

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 9:48 pm Μερικά θέματα (τύπου Β, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2015.

27. Δίνεται η έλλειψη $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ με εστίες τα σημεία με θετική τετμημένη και $F^{\prime}$ με αρνητική τετμημένη. Έστω σημείο της έλλειψης με θετική τεταγμένη για το οποίο $\angle FPF^{\prime} =\pi/2$ . Στην προέκταση του τμήματος προς το σημείο θεωρούμε σημείο , ώστε . Πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου $QF^{\prime}F$ ; [Μόρια 4]

korea_2015_b_27.png

: Korea.png (17.44 KiB) Προβλήθηκε 3010 φορές

Από τη λύση του συστήματος $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\\ \\ {x^2} + {y^2} = 5 \end{array} \right.$ βρίσκω α) $\displaystyle P\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }},\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ και εύκολα $\displaystyle (QF'F) = \frac{{6 \cdot 4}}{2} = 12$

β) Αν το

έχει αρνητική τετμημένη, τότε $\displaystyle P'\left( { - \frac{3}{{\sqrt 5 }},\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)$ και $\displaystyle (Q'F'F) = \frac{{6 \cdot 2}}{2} = 6$

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 9:48 pm Μερικά θέματα (τύπου Β, "κατεύθυνσης") των Κορεατικών εισαγωγικών εξετάσεων στα μαθηματικά για το έτος 2015.

26. Να βρείτε το πλήθος των διατεταγμένων τριάδων των φυσικών αριθμών που ικανοποιούν τις συνθήκες:
Α) το γινόμενο $a\cdot b \cdot c$ είναι περιττός αριθμός
Β) $a \leq b \leq c \leq 20$ . [Μόρια 4]

Εδώ, τώρα, μπορεί να ζητάνε κάτι τέτοιο; $\sum_{n=1}^{10} \left ( \sum_{k=n}^{10} \left ( \sum_{i=k}^{10} i\right ) \right )$

Με επιφύλαξη.

Απλά για να ρωτήσω: θέλουν απλό υπολογισμό, με τα δάκτυλα που λέμε, ή κάτι πιο βαρύ;

Να πω ότι το ερώτημα που απαντήθηκε από τον Φίλο Γιώργο Μπαλόγλου, παραπάνω, είναι έξυπνο και κατάλληλο για τους μαθητές μας. (προσωπική άποψη)

#6

rek2 έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 7:02 pm
Να πω ότι το ερώτημα που απαντήθηκε από τον Φίλο Γιώργο Μπαλόγλου, παραπάνω, είναι έξυπνο και κατάλληλο για τους μαθητές μας. (προσωπική άποψη)

Δυστυχώς, Κώστα, η συγκεκριμένη διαδικασία είναι εκτός ύλης πια.
Η οδηγία είναι να μην διδαχθούν ασκήσεις και εφαρμογές πάνω στη συνάρτηση $\displaystyle F(x) = \int_a^x {f(t)dt}$

Είναι από τα πολλά παράλογα που συμβαίνουν.

Γνωρίζουμε ότι η

είναι παράγουσα της

αλλά απαγορεύεται να γράψουμε $\displaystyle {\left( {\int_a^x {f(t)dt} } \right)^\prime } = f(x)$

Τροβαδούρος · #7

rek2 έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 7:02 pm
Εδώ, τώρα, μπορεί να ζητάνε κάτι τέτοιο; $\sum_{n=1}^{10} \left ( \sum_{k=n}^{10} \left ( \sum_{i=k}^{10} i\right ) \right )$

Με επιφύλαξη. Απλά για να ρωτήσω: θέλουν απλό υπολογισμό, με τα δάκτυλα που λέμε, ή κάτι πιο βαρύ;

Αν καταλαβαίνω καλά το πρόβλημα η απάντηση είναι ο αριθμός των συνδυασμών με επαναλήψεις τριων περιττών μέχρι το 20.
Έχουμε 10 περιττούς μέχρι το 20 άρα η απάντηση είναι ${10+3-1\choose 3}={12\choose 3}=220$ που μπορεί να υπολογιστεί αρκετά εύκολα.

Al.Koutsouridis · #8

Τροβαδούρος έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 8:07 pm
rek2 έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 7:02 pm
Εδώ, τώρα, μπορεί να ζητάνε κάτι τέτοιο; $\sum_{n=1}^{10} \left ( \sum_{k=n}^{10} \left ( \sum_{i=k}^{10} i\right ) \right )$

Με επιφύλαξη. Απλά για να ρωτήσω: θέλουν απλό υπολογισμό, με τα δάκτυλα που λέμε, ή κάτι πιο βαρύ;

Αν καταλαβαίνω καλά το πρόβλημα η απάντηση είναι ο αριθμός των συνδυασμών με επαναλήψεις τριων περιττών μέχρι το 20.
Έχουμε 10 περιττούς μέχρι το 20 άρα η απάντηση είναι ${10+3-1\choose 3}={12\choose 3}=220$ που μπορεί να υπολογιστεί αρκετά εύκολα.

Ναι, νομίζω αυτό ζητάει το πρόβλημα. Υποθέτω από την στιγμή που συνδιαστική είναι στην ύλη τους θα είναι και οι τύποι/τρόποι υπολογισμού συνδιασμών, μεταθέσεων κτλ. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα είναι συνδιασμοί με επανάληψη όπως ανέφερε και ο Τροβαδούρος. Ο τύπος αυτός δίνει τους συνδιασμούς χώρις να υπολογίζει τις διαφορετικές διατάξεις της τριάδας, που στην ουσία είναι αυτό που θέλουμε αφού υπάρχει μόνο μια τριάδα που είναι διατεταγμένη κατά αύξουσα σειρά.

Tolaso J Kos · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: Σάβ Μάιος 18, 2019 9:48 pm 24. Υπολογίστε την τιμή του , όπου το γινόμενο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης $x^2-6x-\sqrt{x^2-6x-1}=3$ . [Μόρια 4]

Καταρχάς , πρέπει $\displaystyle{x^2-6x-1 \geq 0 \Leftrightarrow x \in \left ( -\infty, 3-\sqrt{10} \right ] \cup \left [ 3+ \sqrt{10} , +\infty \right )}$ . Τότε:

$\displaystyle{\begin{aligned} x^2-6x - \sqrt{x^2-6x-1} =3 &\Leftrightarrow \left (x^2-6x -1 \right ) - \sqrt{x^2-6x-1} =2 \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\overset{y=x^2-6x-1}{\Leftarrow \! =\! =\! =\! =\! =\!=\! \Rightarrow } y - \sqrt{y} =2 \\ &\Leftrightarrow y -2 = \sqrt{y} \\ &\Rightarrow \left ( y-2 \right )^2 = y \\ &\Rightarrow y^2-4y+4 =y \\ &\Rightarrow y^2-5y+4 =0 \\ &\!\overset{y\geq 0}{\Rightarrow } \left\{\begin{matrix} y & = & 1\\ y & = & 4 \end{matrix}\right. \end{aligned}}$

Η y=1

όμως απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί την εξίσωση $y-2=\sqrt{y}$ . Συνεπώς y=4

. Άρα,

$\displaystyle{\begin{aligned} y=4 &\Leftrightarrow x^2-6x-1=4 \\ &\Leftrightarrow x^2-6x-5=0 \\ &\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x & = &3 - \sqrt{14} \\ x & = &3 + \sqrt{14} \end{matrix}\right. \end{aligned}}$

οι οποίες είναι δεκτές.

Τότε,

$\displaystyle{\kappa = \left ( 3-\sqrt{14} \right ) \left ( 3+\sqrt{14} \right )= 9-14 = -5 \implies \kappa^2 =25}$

#10

george visvikis έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 7:14 pm
rek2 έγραψε: Κυρ Μάιος 19, 2019 7:02 pm
Να πω ότι το ερώτημα που απαντήθηκε από τον Φίλο Γιώργο Μπαλόγλου, παραπάνω, είναι έξυπνο και κατάλληλο για τους μαθητές μας. (προσωπική άποψη)
Δυστυχώς, Κώστα, η συγκεκριμένη διαδικασία είναι εκτός ύλης πια.
Η οδηγία είναι να μην διδαχθούν ασκήσεις και εφαρμογές πάνω στη συνάρτηση $\displaystyle F(x) = \int_a^x {f(t)dt}$

Είναι από τα πολλά παράλογα που συμβαίνουν.

Γνωρίζουμε ότι η είναι παράγουσα της αλλά απαγορεύεται να γράψουμε $\displaystyle {\left( {\int_a^x {f(t)dt} } \right)^\prime } = f(x)$

Το ολοκλήρωμα πάντως υπολογίζεται λυκειακά (με κατά παράγοντας ολοκλήρωση της te^t

, εκτός και αν είναι και αυτό εκτός ύλης), οπότε απλώς καθυστερεί λίγο η λύση (νομίζω).

#11

Αναφέρομαι στο 29.

Η προβολή του κύκλου στο επίπεδο xy, ας είναι έλλειψη.

Σαν "πλάτος" θεωρούμε το μήκος του μεγάλου άξονα;

Al.Koutsouridis · #12

rek2 έγραψε: Δευ Μάιος 20, 2019 12:04 pm Αναφέρομαι στο 29.

Η προβολή του κύκλου στο επίπεδο xy, ας είναι έλλειψη.

Σαν "πλάτος" θεωρούμε το μήκος του μεγάλου άξονα;

Καλησπέρα κ.Κώστα,

Δεν είμαι σίγουρος, από την μετάφραση στα αγγλικά δεν είναι καθαρό το τι εννοείται. Τα θέματα είναι εδώ. Στο τέλος έχει τις απαντήσεις για αυτό το θέμα η απάντηση είναι

. Μάλλον εννοείται μέγιστο εμβαδόν αντί για "πλάτος" τώρα που το κοιτάω καλύτερα...

Ο συνδιασμός χαρακτήρων "넓이" που εμαφανίζεται στην υπό εξέταση πρόταση, μεταφράζεται και σαν area αν μεταφραστεί ξεχωριστά. Αν μεταφραστεί μαζί με τους άλλους χαρακτήρες δίνει "width". Νομίζω το εμβαδόν είναι πιο σωστό για το πρόβλημα. Θα προσπαθήσω το βράδυ, να επαληθεύσω το αποτέλεσμα

και για τις δυο περιπτώσεις, αν τα καταφέρω δηλαδή. Με συγχωρείτε για την ταλαιπωρία...

#13

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Μάιος 20, 2019 1:30 pm
rek2 έγραψε: Δευ Μάιος 20, 2019 12:04 pm Αναφέρομαι στο 29.

Η προβολή του κύκλου στο επίπεδο xy, ας είναι έλλειψη.

Σαν "πλάτος" θεωρούμε το μήκος του μεγάλου άξονα;
Καλησπέρα κ.Κώστα,

Δεν είμαι σίγουρος, από την μετάφραση στα αγγλικά δεν είναι καθαρό το τι εννοείται. Τα θέματα είναι εδώ. Στο τέλος έχει τις απαντήσεις για αυτό το θέμα η απάντηση είναι . Μάλλον εννοείται μέγιστο εμβαδόν αντί για "πλάτος" τώρα που το κοιτάω καλύτερα...

Ο συνδιασμός χαρακτήρων "넓이" που εμαφανίζεται στην υπό εξέταση πρόταση, μεταφράζεται και σαν area αν μεταφραστεί ξεχωριστά. Αν μεταφραστεί μαζί με τους άλλους χαρακτήρες δίνει "width". Νομίζω το εμβαδόν είναι πιο σωστό για το πρόβλημα. Θα προσπαθήσω το βράδυ, να επαληθεύσω το αποτέλεσμα και για τις δυο περιπτώσεις, αν τα καταφέρω δηλαδή. Με συγχωρείτε για την ταλαιπωρία...

Αλέξανδρε σε ευχαριστώ! Να είσαι πάντα καλά, και να μας μεταφράζεις!

(να βλέπουμε και ασύμμετρα θέματα!)

Αν πρόκειται για εμβαδόν, τότε, ναι, δικαιολογείται και το π στην εκφώνηση...Μάλλον η γωνία κλίσης του επιπέδου του κύκλου ως προς το επίπεδο προβολής στην θέση μέγιστου, έχει συνημίτονο 0,8= 4/5.

Πράγματι, το πρόβλημα ανάγεται στο επόμενο:

Σε ορθογώνιο τρίγωνο OMN

υπάρχει σημείο

της κάθετης πλευράς του

τέτοιο, ώστε:

$MK=1,\,\,OK^2=50,\,\,\measuredangle KON=45^o$

Να βρεθεί το συνημίτονο της γωνίας $\measuredangle MNO$

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις στα μαθηματικά 2015

Μέλη σε σύνδεση