Η περίμετρος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8303
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Η περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 21, 2019 8:07 pm

Η περίμετρος.png
Η περίμετρος.png (11.2 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
Στο τρίγωνο ABC το I είναι το έγκεντρο και AD η διχοτόμος. Αν επιπλέον

BD=BI και AB=18, DC=8, να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Η περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Ιουν 21, 2019 9:14 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 21, 2019 8:07 pm
Η περίμετρος.png
Στο τρίγωνο ABC το I είναι το έγκεντρο και AD η διχοτόμος. Αν επιπλέον

BD=BI και AB=18, DC=8, να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.
Καλησπέρα!

Από θεώρημα διχοτόμων \dfrac{18}{BD}=\dfrac{AC}{8}\Leftrightarrow BD=\dfrac{8\cdot 18}{AC}

Επειδή BID ισοσκελές θα είναι \widehat{BIA}=\widehat{CDA} και έτσι \widehat{IBA}=\widehat{C}
Από την παραπάνω σχέση εάν η προέκταση BI τέμνει την AC στο L τότε BLC ισοσκελές αφού \widehat{B}=2\widehat{C}.

\overset{\Delta }{ABC}\sim \overset{\Delta }{ABL}\Leftrightarrow \dfrac{BC}{BL}=\dfrac{18}{AL}=\dfrac{AC}{18}

Από τις παραπάνω σχέσεις είναι 18^2=AC\left ( AC-LC \right )\,\,\,(*)
και LC=BL=\dfrac{18BC}{AC}

Αντικαθιστούμε το LC στην (*) και έχουμε

AC^2-18BC=18^2\Leftrightarrow AC^2-18(8+BD)=18^2\overset{BD=\dfrac{8\cdot 18}{AC}}{\Leftarrow \!\Rightarrow } AC^3-26\cdot 18AC-8\cdot 18^2=0\Leftrightarrow AC^3-\,\,--36A-432A-8\cdot 18^2=0\Leftrightarrow AC(AC^2-36)-432(AC+6)=0\Leftrightarrow \left ( AC-24 \right )\left ( AC+6 \right )\left ( AC+18 \right )=\,\,\,\,\,\,=0\overset{AC>0}{\Leftrightarrow }AC=24

Βρίσκουμε BD=6 και έτσι η περίμετρος είναι 18+6+8+24=56
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Ιουν 21, 2019 10:01 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 81
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Η περίμετρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Παρ Ιουν 21, 2019 9:59 pm

Γειά σας και απο εμένα!
Θέτω BD=x
Με Θ.διχοτόμου στο ABC έχουμε \dfrac{x}{8}=\dfrac{18}{AC}\,\,\,\,\,\,(1)
To I είναι έκεντρο, οπότε BI διχοτόμος της \widehat{B}. Με Θ.διχοτόμου στο ABD έχουμε \dfrac{ID}{AI}=\dfrac{x}{18}\Leftrightarrow ID=\dfrac{AI}{18} x \,\,\,(2)
Τα τρίγωνα ADC και ABI είναι όμοια, καθώς \widehat{BAI}=\widehat{DAC} και \widehat{ABT}=\widehat{ACD} 
 
, άρα είναι \dfrac{AI}{AD}=\frac{x}{8}\Leftrightarrow \dfrac{AI}{AI+ID}=\dfrac{x}{8}\overset{(2)}{\Leftarrow\!=\!\Rightarrow }\dfrac{AI} 
 
{AI+\dfrac{AI}{18}x}=\dfrac{x}{8}\Leftrightarrow 8AI=AIx+\frac{AI x^{2}}{18}\Leftrightarrow AI x^{2}+18AIx-144AI=0

\Delta =324AI^{2}-4AI\left ( -144AI \right )=324AI^{2}+576AI^{2}=900AI^{2}

x\overset{x>0}{=}\dfrac{-18AI+ 30AI}{2AI}=\dfrac{12AI}{2AI}=6

Αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε \dfrac{6}{8}=\dfrac{18}{AC}\Leftrightarrow AC=24

Οπότε είναι \Pi =18+24+14=56


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3239
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Η περίμετρος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 21, 2019 11:37 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 21, 2019 8:07 pm

Στο τρίγωνο ABC το I είναι το έγκεντρο και AD η διχοτόμος. Αν επιπλέον

BD=BI και AB=18, DC=8, να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.
Καλησπέρα και συγχαρητήρια στα αδέρφια Φωτιάδη.
shape.png
shape.png (22.36 KiB) Προβλήθηκε 371 φορές
Από το B φέρω κάθετη στην AD και έστω M,N τα αντίστοιχα σημεία τομής με τις AD,AC

Το τετράπλευρο INDB είναι ρόμβος και θα ισχύει: \dfrac{{AN}}{{NC}} = \left( {\dfrac{{AI}}{{ID}}} \right) = \dfrac{{AB}}{{BD}}

Με αντικατάσταση προκύπτει: \dfrac{{18}}{{\frac{{144}}{x} - 18}} = \dfrac{{18}}{x} και ισοδύναμα το τριώνυμο {x^2} + 18x - 144 = 0 με δεκτή λύση x = 6

Έτσι, η περίμετρος του ABC είναι 56


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6655
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η περίμετρος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 21, 2019 11:40 pm

Φέρνω το ύψος του ισοσκελούς \vartriangle BDI που τέμνει την AC στο E.

Αβίαστα προκύπτουν : Το τετράπλευρο BDEI είναι ρόμβος το BCEI ισοσκελές τραπέζιο και το τρίγωνο ABE ισοσκελές.

\dfrac{{IE}}{{DC}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{x}{8} = \dfrac{{18}}{{18 + x}} \Leftrightarrow {x^2} - 18x - 8 \cdot 18 = 0 \Rightarrow \boxed{x = 6} .

Άρα \boxed{2\tau  = 18 + 6 + 8 + 6 + 18 = 56}


Με πρόλαβε ο φίλτατος Μιχαήλ! Αλλά όμως είχαμε συντονισμός σκέψης
Συνημμένα
περίμετρος_σε δεδομένο τρίγωνο_1.png
περίμετρος_σε δεδομένο τρίγωνο_1.png (21.15 KiB) Προβλήθηκε 368 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η περίμετρος

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιουν 23, 2019 9:15 am

george visvikis έγραψε:
Παρ Ιουν 21, 2019 8:07 pm
Η περίμετρος.png
Στο τρίγωνο ABC το I είναι το έγκεντρο και AD η διχοτόμος. Αν επιπλέον

BD=BI και AB=18, DC=8, να βρείτε την περίμετρο του τριγώνου.
Αλλιώς..

Είναι ,\displaystyle \angle BID = \angle \frac{A}{2} + \omega και \displaystyle \angle IDB = \angle \frac{A}{2} + C άρα, \displaystyle \boxed{\omega  = C}

Ο κύκλος \displaystyle \left( {A,b} \right) τέμνει την \displaystyle CB στο \displaystyle F οπότε \displaystyle \angle FAB = C \Rightarrow FB = AB = 18 και

\displaystyle \angle FAD = \angle ADF = \frac{A}{2} + C \Rightarrow AF = FD \Rightarrow \boxed{b = 18 + x}

Ισχύει \displaystyle A{F^2} = FB \cdot FC \Rightarrow {b^2} = 18 \cdot \left[ {8 + \left( {18 + x} \right)} \right] \Rightarrow {\left( {18 + x} \right)^2} = 18 \cdot \left[ {8 + \left( {18 + x} \right)} \right]

Με \displaystyle 18 + x = y \Rightarrow {y^2} - 18y - 144 = 9 \Rightarrow \boxed{y = 24} \Rightarrow \boxed{x = 6}

Άρα \displaystyle \boxed{2\tau  = 18 + 8 + 6 + 24 = 56}
περίμετρος.png
περίμετρος.png (17.09 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης