Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 764
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm

GEOMETRIA233=FB3311.jpg
GEOMETRIA233=FB3311.jpg (21.53 KiB) Προβλήθηκε 442 φορές
Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC,

\hat{A}=60^o, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach του ABC ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A}


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3952
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τρί Ιούλ 16, 2019 3:23 pm

sakis1963 έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
GEOMETRIA233=FB3311.jpg

Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC,

\hat{A}=60^o, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach του ABC ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A}
Καλησπέρα Σάκη,

Έχω την εντύπωση ότι το πρόβλημα είναι ιδιαίτερα εύκολο. Βέβαια καλό είναι που βρίσκεται σε έναν τέτοιο φάκελο μιας και αναφέρεται στο σημείο Feuerbach. Θα το αφήσω να το δουν και οι μαθητές μας και θα επανέλθω αύριο αν δεν απαντηθεί


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Feuerbach πάνω στην διχοτόμο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Ιούλ 25, 2019 2:40 pm

sakis1963 έγραψε:
Δευ Ιούλ 15, 2019 10:48 pm
GEOMETRIA233=FB3311.jpg

Δείξτε ότι, σε σκαληνό τρίγωνο ABC,

\hat{A}=60^o, τότε και μόνο τότε αν, το σημείο Feuerbach του ABC ανήκει στην διχοτόμο της γωνίας \hat{A}
Καλημέρα ,

Θα δείξω ότι εάν το σημείο Feuerbach ανήκει στην διχοτόμο τότε \hat{A}=60^{\circ}
Απόδειξη:
Σε αυτή την περίπτωση η κορυφή A ,το F,το έκκεντρο I και το κέντρο του κύκλου του Euler είναι συνευθειακά.
Έστω M το μέσο της AC και CN ύψος.Τα τρίγωνα ANE,AME έχουν AE κοινή  EN=EM και \angle NAE=\angle EAM άρα ίσα από το έμμεσο κριτήριο και έτσι AN=AM=MN άρα \hat{A}=60^{\circ}
101.PNG
101.PNG (34.34 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές
Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη τώρα θα δείξω ότι αν \hat{A}=60^{\circ} τότε το σημείο Feuerbach ανήκει στην διχοτόμο ή ισοδύναμα ότι το σημείο τομής της διχοτόμου με τον έγκυκλο ανήκει στον κύκλο του Euler.
Απόδειξη:
Έστω  M μέσο της AC,\,\,\,\kappa \alpha \iota\,\,\,CN ,BK ύψη.Εύκολα προκύπτει ότι F μέσο του  AI και NMA ισόπλευρο.
Αρκεί να δείξω ότι NMKF εγγράψιμο,είναι MF//IC\Leftrightarrow \angle AMF=\dfrac{\angle C}{2}
Όμως \angle KNA=\angle C\Leftrightarrow \angle KNF=\angle C-\angle FNA=\angle C-\angle AMF=\dfrac{\angle C}{2}=\angle AMF και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

102.PNG
102.PNG (34.05 KiB) Προβλήθηκε 227 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες