Παραγωγισιμότητα στο 0

jalex · #1

Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$ , $x\ne0$ και f(0)=0

δεν είναι παραγωγίσιμη στο

. Είναι σωστή η παρακάτω αιτιολόγηση στα πλαίσια του σχολείου;

Είναι:
$\lim_{x\to0}\limits\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\limits\frac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}.$
Έστω ότι $\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}=\ell\in\mathbb{R}$ . Τότε για

κοντά στο

, οι τιμές $\sin\frac{1}{x}$ και $\ell$ είναι περίπου ίσες. Άρα, οι τιμές $f(\frac{1}{3\pi})$ και $f(\frac{2}{3\pi})$ είναι περίπου ίσες με $\ell$ .
Όμως $f(\frac{1}{3\pi})=0$ και $f(\frac{2}{3\pi})=-1$ .
Άρα το $\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}$ δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση

δεν είναι παραγωγίσιμη στο

.

Λάμπρος Κατσάπας · #2

jalex έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:47 pm
Θέλουμε να δείξουμε ότι η συνάρτηση $f(x)=\sin\frac{1}{x}$ , $x\ne0$ και δεν είναι παραγωγίσιμη στο . Είναι σωστή η παρακάτω αιτιολόγηση στα πλαίσια του σχολείου;

Είναι:
$\lim_{x\to0}\limits\frac{f(x)-0}{x-0}=\lim_{x\to0}\limits\frac{x\cdot \sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}.$
Έστω ότι $\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}=\ell\in\mathbb{R}$ . Τότε για κοντά στο , οι τιμές $\sin\frac{1}{x}$ και $\ell$ είναι περίπου ίσες. Άρα, οι τιμές $f(\frac{1}{3\pi})$ και $f(\frac{2}{3\pi})$ είναι περίπου ίσες με $\ell$ .
Όμως $f(\frac{1}{3\pi})=0$ και $f(\frac{2}{3\pi})=-1$ .
Άρα το $\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}$ δεν υπάρχει στο $\mathbb{R}$ , οπότε η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο .

Δεν είναι σωστή η αιτιολόγηση ούτε στα πλαίσια του σχολείου ούτε πουθενά.

Πρώτα απ'όλα το περίπου ίσες δεν μας λέει τίποτα. Αν το δεχθούμε για χάρη της κουβέντας τότε αυτό που έχει δειχθεί είναι για κάποιες τιμές δεξιά του

η συνάρτηση $\sin \frac{1}{x}$ παίρνει διαφορετικές τιμές. Κανείς δεν μας λέει ότι αν κινηθούμε πιο κοντά στο

αυτό που παρατηρήσαμε τώρα δεν θα ξαναπαρατηρηθεί. Αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι αν το $\lim_{x\rightarrow 0^+}\sin \frac{1}{x}=l\in R$ τότε και το $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sin x$
είναι πραγματικός. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί ότι δεν ισχύει είτε φυσιολογικά, με ακολουθίες, είτε με τριγωνομετρικά τεχνάσματα. Στους μαθητές το πολύ πολύ να το εξηγήσεις γραφικά ότι συμβαίνει.

jalex · #3

Ευχαριστώ για την απάντηση. Είχα μια διαφωνία σχετικά με αυτό το θέμα. Τις ίδιες σκέψεις έκανα και εγώ αλλά η άλλη πλευρά δεν "άκουγε".

#4

Βιαστικά γιατί είμαι σε διάλειμμα μεταξύ μαθημάτων.

Υποθέτω ότι αντί

jalex έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 04, 2019 12:47 pm
$f(x)=\sin\frac{1}{x}$

εννοείς $f(x)= x\sin\frac{1}{x}$ (δηλαδή λείπει ένα

).

Τουλάχιστον τώρα η συνάρτηση είναι συνεχής αλλά ως προς την παραγωγισιμότητα η κατάσταση δεν σώζεται, για τους λόγους που επισνμαίνει ο Λάμπρος.

Christos.N · #5

Φιλότιμο αλλά δεν πείθει , παράδειγμα αν βρισκόμασταν σε αυτήν την περίπτωση :

: DeepinScreenshot_select-area_20191104131246.png (11.87 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

υπάρχουν διαφορετικά

που να έχουν τις ίδιες τιμές;

Προσωπικά όταν διδάσκω την έννοια του ορίου ακολουθώ το κλασσικό παράδειγμα του βιβλίου που έχει (είχε) η γενική παιδεία.

: DeepinScreenshot_select-area_20191104133305.png (98.42 KiB) Προβλήθηκε 957 φορές

Με την ίδια λογική για το όριο $\lim_{x\to0}\limits\sin\frac{1}{x}$ μπορούμε να κάνουμε έναν πίνακα σαν τον προηγούμενο με τιμές όπως $1/\pi,1/2\pi,1/3\pi...$ την μια φορά και $1/(\pi+\frac{\pi}{4}),1/(2\pi+\frac{\pi}{4}),1/(3\pi+\frac{\pi}{4})...$ την άλλη. Και στις δύο περιπτώσεις παίρνουμε διαδοχικά αριθμούς κοντά στο μηδέν όμως η τιμή της συνάρτησης διαφέρει κάθε φορά.

jalex · #6

Σωστά κύριε Λάμπρου, λείπει το

. Διορθώθηκε

Παραγωγισιμότητα στο 0

Παραγωγισιμότητα στο 0

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

Re: Παραγωγισιμότητα στο 0

Μέλη σε σύνδεση