Μέση Τιμή

[mick7]

Να υπολογιστεί η μέση τιμή όλων των συντεταγμένων του καρτεσιανού επίπεδου.

Αναφορά https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE ... F%89%CE%BD

[kkala]

Ας θεωρήσουμε πολυάριθμο (όχι όμως άπειρο) πλήθος τυχαίων σημείων στο τμήμα του επιπέδου που περικλείεται από τους θετικούς ημιάξονες 0χ και 0y. Έστω ένα τυχαίο από τα σημεία αυτά (χ1, y1), όπου χ1>0, y1>0. Τα συμμετρικά του σημείου αυτού ως προς τους δύο άξονες 0χ και 0y είναι (χ1, -y1) και (-χ1, y1) αντίστοιχα. Τα συμμετρικά και των δύο προηγούμενων σημείων ως προς 0x, 0ψ συμπίπτουν στο σημείο (-χ1, -y1) στο τμήμα του επιπέδου που περικλείεται από τους αρνητικούς 0χ, 0y.
Δημιουργείται έτσι μια απεικόνιση 3 σημείων επί πλέον του (χ1, y1) στα 4 διαφορετικά επίπεδα τμήματα των αξόνων 0χ, 0y. Τα 4 αυτά σημεία έχουν μέσο όρο συντεταγμένων το (0, 0). Οποιοδήποτε τυχαίο σημείο σε ένα από τα 4 επίπεδα τμήματα των αξόνων μπορεί να δημιουργήσει μονοσήμαντα τα 3 άλλα απεικονιζόμενα σημεία, και τα τέσσερα αυτά σημεία έχουν "κέντρο" (δηλαδή μέσο όρο συντεταγμένων) το (0, 0), δηλαδή την αρχή των αξόνων.
Επίσης πολλές τετράδες τέτοιων σημείων έχουν μέσο όρο συντεταγμένων το (0,0). Άρα καταχρηστικά (για άπειρο πλήθος σημείων) μπορούμε να πούμε για διασκέδαση ότι ο μέσος όρος (των συντεταγμένων) τους είναι (0, 0) που παριστάνει το σημείο της αρχής των αξόνων.
Άλλες απεικονίσεις είναι πιστεύω δυνατές, διαισθητικά βέβαια η απάντηση του (0, 0) σαν μέσου όρου φαίνεται σωστή (για διασκέδαση).

Σημείωση: Πιθανότατα υπάρχει αυστηρότερη μαθηματική απάντηση για τη μέση τιμή όλων των συντεταγμένων (χ,y) του Καρτεσιανού επιπέδου (έστω και για διασκέδαση).

[Demetres]

Με ποιο μέτρο πιθανότητας; (Δεν υπάρχει ομοιόμορφο μέτρο πιθανότητας στο επίπεδο. Δηλαδή η πιθανότητα π.χ. ένα τυχαίο σημείο να βρίσκεται σε συγκεκριμένο τετράγωνο πλευράς 1 να είναι ανεξάρτητη του τετραγώνου.)