Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA242=FB4132.jpg (40.81 KiB) Προβλήθηκε 758 φορές

Εστω τρίγωνο ABC

, το ύψος του

, η διάμεσός του

και

ο "βόρειος πόλος" του κύκλου με διάμετρο

.

Αν $P\equiv DN \cap AM$ , $X\equiv CP \cap AB$ , $W\equiv BP \cap AC$ και U, V

οι ορθές προβολές των X, W

στην

,

δείξτε οτι το UVWX

είναι τετράγωνο

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 18, 2019 1:41 pm
GEOMETRIA242=FB4132.jpg
Εστω τρίγωνο , το ύψος του , η διάμεσός του και ο "βόρειος πόλος" του κύκλου με διάμετρο .

Αν $P\equiv DN \cap AM$ , $X\equiv CP \cap AB$ , $W\equiv BP \cap AC$ και οι ορθές προβολές των στην ,

δείξτε οτι το είναι τετράγωνο

Καλησπέρα!

Έστω $L\equiv AD\cap XW$ ,επειδή οι BW,CX

τέμνονται πάνω στην διάμεσο

από γνωστό λήμμα (απόδειξη απλή με Ceva) θα είναι XW//BC

και μένει να δείξουμε ότι XW=XU

.
Για να ισχύει αυτό αρκεί $\dfrac{XW}{BC}=\dfrac{AL}{AD}=\dfrac{AD-LD}{AD}=\dfrac{AD-XW}{AD}\Leftrightarrow XW=\dfrac{AD\cdot a}{AD+a}$
Όμως είναι $\Delta APD\sim \Delta MPN \Rightarrow \dfrac{AP}{PM}=\dfrac{AD}{MN}$ και από Van Aubel γίνεται $2\cdot \dfrac{AX}{BX}=\dfrac{AD}{\dfrac{a}{2}}\Leftrightarrow \dfrac{AX}{BX}=\dfrac{AD}{a}\Leftrightarrow ..\Leftrightarrow AX=\dfrac{c\cdot AD}{a+AD}$
Αρκεί επομένως $\dfrac{AX}{AB}=\dfrac{\dfrac{AD\cdot a}{a+AD}}{a}\Leftrightarrow \dfrac{AD}{a+AD}=\dfrac{AD}{a+AD}$ που ισχύει άρα το UVWX

είναι τετράγωνο

Έγινε μικρή διόρθωση τυπογραφικού

#3

Μία άλλη αντιμετώπιση με θεώρημα Desargues.
Κατασκευάζουμε το τετράγωνο BCDE

που είναι ομοιόθετο του UVWX

με κέντρο

.
Τα τρίγωνα EZN, BAM

έχουν τις τομές C,P,X

των ομόλογων πλευρών τους σε ευθεία, καθώς οι ομόλογες κορυφές τους ορίζουν παράλληλες ευθείες.

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Re: Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Re: Τετράγωνο εγγεγραμμένο σε τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση