Ολοκλήρωμα με minimum συνάρτηση

#1

Έστω $f:[0,1]\longrightarrow \mathbb R$ συνεχής συνάρτηση. Για $x\in [0,1]$ θέτουμε

$\displaystyle{F(x) = \int _0^1\min(x,t)f(t)\,dt}$ .

Δείξτε ότι η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη, και βρείται την F''

.

Εδώ, ως συνήθως, $\min(a,b)$ είναι ο μικρότερος από τους a,b

, και ειδικά $\min (a,a)=a$ .

(Κατάλληλη για τους μαθητές μας στις τάξεις μας ή στις Πανελλαδικές.)

Christos.N · #2

Αρκεί να παρατηρήσουμε (να γνωρίζουμε ίσως) ότι $\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}$

$\displaystyle{F(x) = \int _0^1\min(x,t)f(t)\,dt}= \int _0^1\frac{x+t-|x-t|}{2}f(t)\,dt}$ . με ένα σημαντικό βήμα ακόμα στο

$\displaystyle{\int _0^1|x-t|f(t)\,dt=\int _0^x|x-t|f(t)\,dt+\int _x^1|x-t|f(t)\,dt}$ όλα μετά εκτός ύλης και ρουτίνα.

#3

Christos.N έγραψε: Κυρ Δεκ 29, 2019 10:19 pm Αρκεί να παρατηρήσουμε (να γνωρίζουμε ίσως) ότι $\min\{a,b\}=\frac{a+b-|a-b|}{2}$

$\displaystyle{F(x) = \int _0^1\min(x,t)f(t)\,dt}= \int _0^1\frac{x+t-|x-t|}{2}f(t)\,dt}$ . με ένα σημαντικό βήμα ακόμα στο

$\displaystyle{\int _0^1|x-t|f(t)\,dt=\int _0^x|x-t|f(t)\,dt+\int _x^1|x-t|f(t)\,dt}$ όλα μετά εκτός ύλης και ρουτίνα.

Σωστά, αλλά πιο απλά (εννοώ από την σκοπιά του μαθητή που μπορεί να μην ξέρει τον τύπο με το min) και με λιγότερες πράξεις,

$\displaystyle{F(x) = \int _0^x\min(x,t)f(t)\,dt}+ \int _x^1\min(x,t)f(t)\,dt}= \int _0^x tf(t)\,dt + x\int _x^1 f(t)\,dt$

Συνεχίζω χάρην πληρότητας. H παραγώγιση δίνει

$F'(x)= xf(x) + \left (\int _x^1 f(t)\,dt- xf(x) \right) = \int _x^1 f(t)\,dt$ και άρα F''(x)=-f(x)

Ολοκλήρωμα με minimum συνάρτηση

Ολοκλήρωμα με minimum συνάρτηση

Re: Ολοκλήρωμα με minimum συνάρτηση

Re: Ολοκλήρωμα με minimum συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση