Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Λάμπρος Κατσάπας · #1

δείτε και εδώ

Μπορεί μια συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , περιοδική, συνεχής και μη σταθερή, να έχει περιόδους

και

, χωρίς όμως να ισχύει B=kA

με $k \in \mathbb{\mathbb{Z}}$ ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Φυσικά. $f(x)=\sin x$
με περιόδους τις $18\pi,20\pi$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Σωστά. Αντί για $\mathbb{Z}$ ας βάλουμε $\mathbb{Q}$ .

Μάρκος Βασίλης · #4

Μία σκέψη στα γρήγορα:

Έστω $T_0=\inf\{T>0\mid f(x+T)=f(x),\ \forall x\in\mathbb{R}\}$ . Επομένως, υπάρχει ακολουθία (T_n)

περιόδων της

με

και $T_n\to T_0$ , οπότε, από τη συνέχεια της

, έχουμε ότι:

$\displaystyle{f(x+T_0)=f(x+\lim T_n)=f(\lim(x+T_n))=\lim f(x+T_n)=\lim f(x)=f(x),}$

άρα και η T_0

είναι περίοδος της

.

Αν, τώρα, T_0>0

και

είναι μία άλλη περίοδος της

τότε υπάρχει $k_0\in\mathbb{N}$ με k_0T_0≤T<(k_0+1)T_0

, οπότε $0\leq T-k_0T_0<T_0$ . Όμως, για κάθε $x\in\mathbb{R}$ έχουμε:

$\displaystyle{f(x)=f(x+T)=f(x+T-k_0T_0),}$

και, επειδή Τ-k_0T_0<T_0

, έπεται ότι T-k_0T_0=0

, άρα

- αλλιώς θα είχαμε περίοδο μικρότερη της T_0

, άτοπο.

Έτσι, αν A,B

είναι δύο περίοδοι της

τότε θα υπάρχουν $k_1,k_2\in\mathbb{N}$ με A=k_1T_0

και

, άρα $\frac{A}{B}=\frac{k_1}{k_2}\in\mathbb{Q}$ .

Έτσι, για να ισχύει το ζητούμενο είναι αναγκαίο να ισχύει ότι T_0=0

, ή,ισοδύναμα, να υπάρχει ακολουθία T_n

περιόδων της

τέτοια ώστε $T_n\to0$ .

min## · #5

Κάνω λάθος;
Έστω ότι υπάρχουν περίοδοι $\alpha ,\beta$ ώστε $\alpha /\beta \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}$ .
Τότε το σύνολο $S=[n\alpha +m\beta /n,m\in \mathbb{Z}]$ είναι υποσύνολο του συνόλου των περιόδων της

.Επιπλέον είναι πυκνό στο $\mathbb{R}$ :Εφόσον είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση/αφαίρεση,είναι γνωστό πως ή είναι πυκνό ή έχει ελάχιστο στοιχείο.(ας πούμε κατά απόλυτη τιμή).
Αν υποθέσουμε το δεύτερο,καταλήγουμε σε άτοπο διότι κάθε περίοδος θα διαιρούταν από την ελάχιστη περίοδο έστω

,δηλαδή το

θα ήταν ρητό πολλαπλάσιο των $\alpha,\beta$ το οποίο δεν μπορεί να ισχύει καθώς τα $\alpha,\beta$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στους ρητούς.
Η πυκνότητα του συνόλου περιόδων όμως δηλώνει πως η συνάρτηση είναι σταθερή καθώς $f(x)=f(x+p_{n})$ όπου το $p_{n}$ μπορεί να τείνει σε/πάρει οποιαδήποτε τιμή.

sot arm · #6

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Ιαν 14, 2020 2:42 pm Σωστά. Αντί για $\mathbb{Z}$ ας βάλουμε $\mathbb{Q}$ .

Δεν υπάρχει τέτοια

, αν έχω δύο περιόδους A,B

με $\frac{A}{B} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ εύκολα με το Θεώρημα Kronecker, μπορώ να δείξω ότι είναι σταθερή.

Βλέπε: https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 18#p318218

Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Re: Περιοδική-συνεχής-μη σταθερή

Μέλη σε σύνδεση