Κλιμακωτές συναρτήσεις

Συντονιστής: emouroukos

Venegrom
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 15, 2019 4:54 pm

Κλιμακωτές συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Venegrom » Τετ Ιαν 15, 2020 2:29 pm

Καλησπέρα αυτόν τον καιρό διαβάζω το βιβλίο του Spivak όπου πιστεύω ειναι μια καλή εισαγωγή στην ανάλυση.Η άσκηση που δυσκολευομαι να λύσω είναι η εξής
Αν f ολοκληρώσιμη στο [a,b] να δείξω ότι υπάρχει κλιμακωτή συνάρτηση s_1 \leq f τέτοια ώστε \int_{a}^{b}f - \int_{a}^{b} s_1 < ε και κλιμακωτή συνάρτηση s_2\leq f με \int_{a}^{b} s_2 - \int_{a}^{b} f < \varepsilon
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Ιαν 15, 2020 3:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Βελτίωση LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιαν 15, 2020 3:17 pm

Venegrom έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 2:29 pm
s2\geq f με \int_{a}^{b} s2 - \int_{a}^{b} f < ε
Σου άλλαξα τη φορά στην πρώτη γιατί αλλιώς είναι τετριμμένη η δεύτερη αφού το αριστερό της μέλος είναι <0.

To γεγονός ότι η f είναι ολοκληρώσιμη συνεπάγεται ότι υπάρχει διαμέριση \Delta που μας δίνει άνω

άθροισμα μείον κάτω άθροισμα <\varepsilon. Όρισε τις s_1,s_2 τώρα, βασιζόμενος σε αυτή τη διαμέριση,

με βάση τα \sup f,\inf f που παίρνεις σε κάθε υποδιάστημα της διαμέρισης.

Γράψε μας τη λύση σου εδώ μετά.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8353
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 15, 2020 3:18 pm

Αν η f είναι ολοκληρώσιμη τότε υπάρχει μια διαμέριση P ώστε U(f,P)-L(f,P) < \varepsilon και ότι L(f,P) \leqslant \int_a^b f \leqslant U(f,P). Άρα είναι \int_a^b f - L(f,P) < \varepsilon.

Μπορείς τώρα να βρεις κλιμακωτή s_1 ώστε s_1 \leqslant f και L(f,P) = \int_a^b s_1;


Venegrom
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 15, 2019 4:54 pm

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Venegrom » Τετ Ιαν 15, 2020 8:37 pm

L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m(i) * (ti -t(i-1)))=\int_{a}^{b} s1=\int_{t0}^{t1} s1 + ... +\int_{t(n-1))}^{tn} s1
Θέτω την s1 να παίρνει σε καθε (t(i-1),ti)) διάστημα τα inf της f.Oμοιως και για την s2 απλα παιρνουμε τα supf σε καθε διαστημα της διαμερισης P.Και μια ερώτηση... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?(υποθετω πως μαλλον οχι αλλα ειχα την απορια )


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 618
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιαν 15, 2020 9:46 pm

Venegrom έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 8:37 pm
L(f,P)=\sum_{i=1}^{n}m(i) * (ti -t(i-1)))=\int_{a}^{b} s1=\int_{t0}^{t1} s1 + ... +\int_{t(n-1))}^{tn} s1
Θέτω την s1 να παίρνει σε καθε (t(i-1),ti)) διάστημα τα inf της f.Oμοιως και για την s2 απλα παιρνουμε τα supf σε καθε διαστημα της διαμερισης P.Και μια ερώτηση... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?(υποθετω πως μαλλον οχι αλλα ειχα την απορια )
Η κλιμακωτή δεν σε νοιάζει αν είναι συνεχής. Εν γένει δεν είναι. Είναι όμως σίγουρα ολοκληρώσιμη. Στα άκρα των υποδιαστημάτων μπορείς να την ορίσεις όπως θέλεις.

**τόνισε τις λέξεις


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Ιαν 15, 2020 9:47 pm

Venegrom έγραψε:
Τετ Ιαν 15, 2020 8:37 pm
... μας νοιάζει αν η κλιμακωτή συνάρτηση είναι συνεχής ?
Άσκηση για σένα: Δείξε ότι μια συνεχής κλιμακωτή συνάρτηση είναι σταθερή.

Μάλλον κάτι άλλο έχεις κατά νου.


Venegrom
Δημοσιεύσεις: 6
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 15, 2019 4:54 pm

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Venegrom » Πέμ Ιαν 16, 2020 12:14 am

Απλα θεωρω οτι δεν ειναι σταθερη και καταληγω σε ατοπο αφου συμφωνα με την υποθεση ειναι συνεχης ?


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11942
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιαν 16, 2020 10:36 am

Venegrom έγραψε:
Πέμ Ιαν 16, 2020 12:14 am
Απλα θεωρω οτι δεν ειναι σταθερη και καταληγω σε ατοπο αφου συμφωνα με την υποθεση ειναι συνεχης ?
Αντί να είσαι περιγραφικός θα ήταν χρησιμότερο να γράψεις με ακρίβεια τα βήματα. Θα σου πούμε τότε την γνώμη μας.

(Κάτι ακόμα: Παρακαλώ γράφε σωστά Ελληνικά. Στην γλώσσα μας οι λέξεις τονίζονται και το σύμβολο του ερωτηματικού είναι ";")


stranger
Δημοσιεύσεις: 149
Εγγραφή: Δευ Ιαν 14, 2019 6:12 am
Τοποθεσία: United States of America

Re: Κλιμακωτές συναρτήσεις

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από stranger » Δευ Ιαν 20, 2020 9:25 pm

Για να δείξεις το ζητούμενο αρκεί να έχεις κατανοήσει τα αθροίσματα Riemann μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης.
Το ζητούμενο είναι φανερό από τον ορισμό του ολοκληρώματος Riemann.
Για να μη μπορείς να το δείξεις αυτό σημαίνει ότι δεν έχεις κατανοήσει ικανοποιητικά το ολοκλήρωμα Riemann.


Κωνσταντίνος Σμπώκος
Μαθηματικός
Nothing real can be threatened, nothing unreal exists.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Ανάλυση”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 0 επισκέπτες