ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Maidenas · #1

Καλησπέρα, ήθελα να κάνω μια απλή ερώτηση όσον αφορά την απόδειξη του ολοκληρωτικού τύπου cauchy

$f(z_0)=\frac{1}{2 \pi i}\cdot \oint _C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$

Λέει οτι αφού η f είναι ολόμορφη στο Ω το οποίο είναι απλά συνεκτικό - αρα και στο εσωτερικό της απλής κλειστής καμπύλης C μέσα στο Ω - και z_0

εσωτερικό σημείο της καμπύλης αυτής τότε η f θα ειναι συνεχής στο z_0

Οπότε απο τον ε-δ ορισμό της συνέχειας μπορούμε να πούμε οτι για κάθε ε>0 θα υπάρχει ένα δ που θα εξαρτάται απο το ε έτσι ώστε να ισχύει
$|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$ για κάθε $z \in \Omega$ με $|z-z_0|< \delta$ .

Αρα αφού z_0

εσωτερικό σημείο της καμπύλης C μπορώ να χωρέσω ανοικτό δίσκο μέσα στο C με κέντρο z_0

και ακτίνα $\rho$ με $0< \rho < \delta$ .

Η απορία μου είναι εδώ:

$\left | \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right |< \frac{\epsilon}{\rho}$
για κάθε z στο εσωτερικό του δίσκου με κέντρο το z_0

και ακτίνα ρ.

πως προκύπτει αυτή η ανισότητα που ισχυρίζεται;;

#2

Maidenas έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2020 11:42 pm
$|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$ για κάθε $z \in \Omega$ με $|z-z_0|< \delta$ .
...
...με κέντρο και ακτίνα $\rho$ με $0< \rho < \delta$ .
...
$\left | \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right |< \frac{\epsilon}{\rho}$
για κάθε z στο εσωτερικό του δίσκου με κέντρο το και ακτίνα ρ.

Μάλλον με κάτι άλλο το μπερδεύεις γιατί πρόκειται για απόλυτα τετριμμένο θέμα.

Υπόδειξη: Χωρίς βλάβη $\delta <1$ και άρα $\rho <1$ .

Συνέχισε.

Maidenas · #3

πω πω πραγματικά , ήταν τόσο εύκολο... χίλια ευχαριστώ για άλλη μία φορά!!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Maidenas έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2020 11:42 pm Καλησπέρα, ήθελα να κάνω μια απλή ερώτηση όσον αφορά την απόδειξη του ολοκληρωτικού τύπου cauchy

$f(z_0)=\frac{1}{2 \pi i}\cdot \oint _C \frac{f(z)}{z-z_0}dz$

Λέει οτι αφού η f είναι ολόμορφη στο Ω το οποίο είναι απλά συνεκτικό - αρα και στο εσωτερικό της απλής κλειστής καμπύλης C μέσα στο Ω - και εσωτερικό σημείο της καμπύλης αυτής τότε η f θα ειναι συνεχής στο

Οπότε απο τον ε-δ ορισμό της συνέχειας μπορούμε να πούμε οτι για κάθε ε>0 θα υπάρχει ένα δ που θα εξαρτάται απο το ε έτσι ώστε να ισχύει
$|f(z)-f(z_0)|<\epsilon$ για κάθε $z \in \Omega$ με $|z-z_0|< \delta$ .

Αρα αφού εσωτερικό σημείο της καμπύλης C μπορώ να χωρέσω ανοικτό δίσκο μέσα στο C με κέντρο και ακτίνα $\rho$ με $0< \rho < \delta$ .

Η απορία μου είναι εδώ:

$\left | \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right |< \frac{\epsilon}{\rho}$
για κάθε z στο εσωτερικό του δίσκου με κέντρο το και ακτίνα ρ.

πως προκύπτει αυτή η ανισότητα που ισχυρίζεται;;

Το παρακάτω δεν μπορεί να ισχύει

Maidenas έγραψε: Πέμ Ιαν 23, 2020 11:42 pm $\left | \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right |< \frac{\epsilon}{\rho}$
για κάθε z στο εσωτερικό του δίσκου με κέντρο το και ακτίνα ρ.

Αν ίσχυε τότε θα είχες εκτίμηση για το $|f'(z_{0})|$

Μαλλον ήθελες να γράψεις ότι

$\left | \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right |< \frac{\epsilon}{\rho}$
για κάθε

με $|z-z_{0}|=\rho$

Maidenas · #5

Ναι έχετε δίκιο, τώρα το είδα, και το διασταύρωσα απο την απόδειξη που διάβασα.Ευχαριστώ για την παρατήρηση!

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Re: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ CAUCHY

Μέλη σε σύνδεση