Μία γωνία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9368
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μία γωνία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 25, 2020 7:04 pm

Μία γωνία.png
Μία γωνία.png (8.54 KiB) Προβλήθηκε 243 φορές
Σε τρίγωνο ABC με \widehat C=45^\circ, υπάρχει σημείο M της πλευράς BC ώστε M\widehat AC=15^\circ

και BM=2MC. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat B.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μία γωνία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 25, 2020 7:40 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 25, 2020 7:04 pm
Μία γωνία.png
Σε τρίγωνο ABC με \widehat C=45^\circ, υπάρχει σημείο M της πλευράς BC ώστε M\widehat AC=15^\circ

και BM=2MC. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat B.
Έστω, BP \perp AM, με P \in AM.

Τότε, είναι \angle PMB=\angle MAC+\angle ACM=60^\circ, και άρα \angle PBM=30^\circ, οπότε PM=BM/2=MC \Rightarrow \vartriangle MPC ισοσκελές.

Οπότε, \angle MPC=\angle PCM=30^\circ.

Άρα, \angle PCB=\angle PBC=30^\circ \Rightarrow PB=PC (1).

Επίσης, \angle PAC=15^\circ=\angle MPC/2 \Rightarrow \angle PAC=\angle ACP \Rightarrow PA=PC (2).

Από (1) και (2) προκύπτει ότι το P είναι περίκεντρο του \vartriangle ABC \Rightarrow \angle ABC=\angle APC/2=150^\circ/2=75^\circ.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ
Δημοσιεύσεις: 128
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 11:47 pm

Re: Μία γωνία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:01 pm

Καλησπέρα!
Θέτω MC=x και BL=y, όπου L η προβολή του A στην BC.
Στο ορθογώνιο ALM είναι \widehat{AML}=60^{\circ} , οπότε \dfrac{LA}{LM}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \dfrac{3x-y}{2x-y}=\sqrt{3}\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=\dfrac{y\left ( \sqrt{3}-1 \right )}{2\sqrt{3}-3}=\dfrac{\left ( 3+\sqrt{3} \right )y}{3}


Τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο ABL είναι \tan \widehat{B}=\dfrac{3x-y}{y}=\dfrac{3\cdot \dfrac{\left ( 3+\sqrt{3} \right )y}{3}-y}{y}=\dfrac{\left ( 3+\sqrt{3} \right )y-y}{y}=2+\sqrt{3}
που αντιστοιχεί στην γωνία των 75^{\circ}.
Μία γωνία.PNG
Μία γωνία.PNG (25.55 KiB) Προβλήθηκε 220 φορές
τελευταία επεξεργασία από ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ σε Κυρ Ιαν 26, 2020 8:31 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 765
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Μία γωνία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:47 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Ιαν 25, 2020 7:04 pm
Μία γωνία.png
Σε τρίγωνο ABC με \widehat C=45^\circ, υπάρχει σημείο M της πλευράς BC ώστε M\widehat AC=15^\circ

και BM=2MC. Να υπολογίσετε τη γωνία \widehat B.
Καλησπέρα κ.Γιώργο και Ορέστη!
214.PNG
214.PNG (32.52 KiB) Προβλήθηκε 198 φορές
Θεωρώ τον κύκλο (M,MB) που τέμνει την κάθετη από το M στην BC στο P και την BC στο L .Το PBL είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και έτσι AC\parallel PL άρα αν Q\equiv MP\cap AC θα είναι Q μέσο του MP.Θα δείξω ότι  \angle B=75^{\circ}, επειδή \angle PBC=45^{\circ} αρκεί \angle PBA=30^{\circ} δηλαδή αρκεί APMB εγγράψιμο ή ισοδύναμα ότι \angle MAP=45^{\circ}.Φέρω AK κάθετη στην PM (K ανήκει στην PM).Έστω ότι ο κύκλος (K,KA) τέμνει την CM στο F και την PM στο Q'.Τότε F μέσο του AM και \angle MAQ'=\dfrac{\angle FKC}{2}=15^{\circ}\Leftrightarrow Q'\equiv Q.Είναι λοιπόν εύκολα \angle MFQ=45^{\circ} και αφού FQ\parallel AP το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7209
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μία γωνία

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 25, 2020 8:51 pm

μιά γωνία_1.png
μιά γωνία_1.png (24.1 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Αν K η προβολή του B στην AM τότε αβίαστα προκύπτει ότι το K είναι περίκεντρο του \vartriangle ABC και \widehat {ABC} = 45^\circ  + 30^\circ  = 75^\circ


Τελικά είναι η λύση του Ορέστη

Συγνώμη δεν την είχα διαβάσει, πιο πρώτα .

Βάνε και κανένα σχήμα Ορέστη να βλέπουμε με μια ματιά τι γίνεται . Στη Γεωμετρία μια λύση χωρίς σχήμα υποχρεώνει τον όποιο θέλει να την διαβάσει να κάνει σχήμα με βάσει τα λεγόμενα του λύτη κ.λ.π.
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Ιαν 25, 2020 9:31 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Μία γωνία

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Ιαν 25, 2020 9:29 pm

Doloros έγραψε:
Σάβ Ιαν 25, 2020 8:51 pm


Βάνε και κανένα σχήμα Ορέστη να βλέπουμε με μια ματιά τη γίνεται . Στη Γεωμετρία μια λύση χωρίς σχήμα υποχρεώνει τον όποιο θέλει να την διαβάσει να κάνει σχήμα με βάσει τα λεγόμενα του λύτη κ.λ.π.
Έχεις δίκιο κ. Νίκο ... :oops: :oops:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7209
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μία γωνία

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιαν 25, 2020 10:30 pm

Γράφω το περιγεγραμμένο κύκλο του \vartriangle AMC και έστω K το κέντρο του και AD διάμετρός του .
μιά γωνία_2.png
μιά γωνία_2.png (42.91 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές
Αβίαστα προκύπτουν:

Το \vartriangle KCD είναι ισόπλευρο

Το \vartriangle KAM είναι ισοσκελές ορθογώνιο

Το \vartriangle KMC \to \left( {30^\circ ,75^\circ ,75^\circ } \right)

Έτσι αν T η προβολή του C στην AD θα είναι: \dfrac{{AK}}{{KT}} = 2 = \dfrac{{BM}}{{MC}} \Rightarrow AB//KM//TC.

Συνεπώς \boxed{\widehat {{B_{}}} = \widehat {{\theta _{}}} = 75^\circ }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1262
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Μία γωνία

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιαν 26, 2020 12:02 am

Καλό βράδυ σε όλους! Παρόμοια με αυτή του Θεοδόση
Μια γωνία..G.V..PNG
Μια γωνία..G.V..PNG (8.63 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
Αν H η προβολή του A στην BC θέτω για ευκολία AH=HC=3 οπότε έχουμε διαδοχικά

HM=\sqrt{3}...MC=3-\sqrt{3}...BC=3MC=9-3\sqrt{3}...BH=6-3\sqrt{3} .

Έτσι tanB=\dfrac{3}{6-3\sqrt{3}}=2+\sqrt{3} άρα \widehat{B}=75^\circ . Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 0 επισκέπτες