$\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

MathSc · #1

Γεια σας! Διαβάζω για το $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$ , όπου $(A_{n})_{n}$ ακολουθία υποσυνόλων του συνόλου $\Omega$ και κολλάω λίγο στην εύρεσή τους. Συγκεκριμένα:
i) Αν $A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m$

Εγώ ξέρω ότι $\lim_{n} \inf A_{n}= \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap ...) \cup(A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap ...) \cup ...$ και αφού $A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m$ τότε όλες οι παρενθέσεις είναι κενές, άρα $\lim_{n} \inf A_{n}= \varnothing$ .
Αντίστοιχα το $\lim_{n} \sup A_{n}= \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ...) \cap(A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup ...) \cap ...$
Εγώ ξέρω ότι το $\lim_{n} \sup A_{n}$ αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο $A_{n}$ για άπειρα πολλά

. Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι $\lim_{n} \sup A_{n} = \Omega$ ;

ii)Αν $\Omega =\mathbb{R}$ , $A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p})$ , $A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1]$ , για κάθε $p\in \mathbb{N}$
εδώ το χάνω τελείως, θα χρειαστώ μια υπόδειξη. Πήγα να βρω κάποια αρχικά $A_{i}$ μήπως και βγάλω άκρη αλλά τίποτα.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων (δεν είμαι σίγουρος αν έβαλα την ερώτησή μου στην σωστή ενότητα)

#2

MathSc έγραψε: Δευ Φεβ 17, 2020 2:26 pm
Εγώ ξέρω ότι το $\lim_{n} \sup A_{n}$ αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο $A_{n}$ για άπειρα πολλά . Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι $\lim_{n} \sup A_{n} = \Omega$ ;

Επειδή η απάντηση είναι άμεση από αυτά που γράφεις, θα δώσω μόνο την τελική απάντηση με την ελπίδα να μπορέσεις να το λύσεις μόνος σου. Α λύση είναι μισή γραμμή.

Απάντηση: Το limsup είναι το κενό σύνολο.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

MathSc έγραψε: Δευ Φεβ 17, 2020 2:26 pm Γεια σας! Διαβάζω για το $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$ , όπου $(A_{n})_{n}$ ακολουθία υποσυνόλων του συνόλου $\Omega$ και κολλάω λίγο στην εύρεσή τους. Συγκεκριμένα:
i) Αν $A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m$

Εγώ ξέρω ότι $\lim_{n} \inf A_{n}= \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3} \cap ...) \cup(A_{2} \cap A_{3} \cap A_{4} \cap ...) \cup ...$ και αφού $A_{n}\cap A_{m} = \varnothing , n\neq m$ τότε όλες οι παρενθέσεις είναι κενές, άρα $\lim_{n} inf A_{n}= \varnothing$ .
Αντίστοιχα το $\lim_{n} \sup A_{n}= \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k})=(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup ...) \cap(A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4} \cup ...) \cap ...$
Εγώ ξέρω ότι το $\lim_{n} \sup A_{n}$ αποτελείται από τα στοιχεία που ανήκουν στο $A_{n}$ για άπειρα πολλά . Όμως η απάντησή μου ποια είναι; ότι $\lim_{n} \sup A_{n} = \Omega$ ;

ii)Αν $\Omega =\mathbb{R}$ , $A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p})$ , $A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1]$ , για κάθε $p\in \mathbb{N}$
εδώ το χάνω τελείως, θα χρειαστώ μια υπόδειξη. Πήγα να βρω κάποια αρχικά $A_{i}$ μήπως και βγάλω άκρη αλλά τίποτα.

Ευχαριστώ εκ των προτέρων (δεν είμαι σίγουρος αν έβαλα την ερώτησή μου στην σωστή ενότητα)

Στο σωστό φάκελο είσαι.

Έστω $x\in \lim_{n} \inf A_{n}.$ Τότε $x\in \bigcup_{n}(\bigcap_{k\geqslant n}A_{k})$ .

Στην άλλη άσκηση δεν καταλαβαίνω τι ζητάς.

Άρα υπάρχει n_0

ώστε $x\in \bigcap_{k\geqslant n_0}A_{k}$ συνεπάγεται $x\in \varnothing .$

Επομένως $\lim_{n} \inf A_{n}=\varnothing .$

Για το $\lim_{n} \sup A_{n}$ χρειάζεσαι ότι τα A_n

διαμερίζουν τον $\Omega$ για να βγει άκρη.

Τότε αν $x\in \lim_{n} \sup A_{n}$ παίρνουμε $x\in \bigcap_{n}(\bigcup_{k\geqslant n}A_{k})$ για κάθε

. Άρα $x\in \bigcup_{k\geqslant n}A_{k}$ για κάθε

Όμως $\bigcup_{k\geqslant n}A_{k}= \left (\bigcup_{k\leqslant n-1}A_{k} \right )^c$ .

Τελικά $x \notin\Omega\Rightarrow x \in\varnothing .$ Άρα $\lim_{n} \sup A_{n}=\varnothing.$

MathSc · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Δευ Φεβ 17, 2020 4:10 pm
Στην άλλη άσκηση δεν καταλαβαίνω τι ζητάς.

Στην περίπτωση ii μου δίνεται αυτό

Αν $\Omega =\mathbb{R}$ , $A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p})$ , $A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1]$ , για κάθε $p\in \mathbb{N}$

και πρέπει πάλι να βρω $\lim_{n} \inf A_{n}$ , $\lim_{n} \sup A_{n}$

MathSc · #5

Σας ευχαριστώ και τους

για το ερώτημα i. Πιστεύω το κατάλαβα, θα το προσπαθήσω ξανά.

lefsk · #6

Σχετικά με το ερώτημα

που δεν έχει απαντηθεί.
Η ερώτηση προφανώς είναι να υπολογισθούν τα $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$ στην περίπτωση:
$\Omega =\mathbb{R} , A_{2p}=[-1,2+\frac{1}{2p}) , A_{2p+1}=(-2-\frac{1}{2p+1},1]$ για κάθε $p\in \mathbb{N}$

$\bigcap_{n=1}^{\infty } [-1,2+\frac{1}{2n}) = [-1,2]$

$\bigcap_{n=1}^{\infty } (-2-\frac{1}{2n+1},1] = [-2,1]$

$\lim_{n}\sup A_{n} = \{ x \in \mathbb{R} : x \in A_{n}$ για άπειρα $n\} = [-2,2]$

Πράγματι, $x > 2 \Rightarrow \exists n_{0} \in \mathbb{N}: 2 + \frac{1}{2n} < x , \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin A_{n} \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin \lim_{n}\sup A_{n}$

$x < -2 \Rightarrow \exists n_{0} \in \mathbb{N}: x < -2 - \frac{1}{2n+1} , \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin A_{n} \forall n \geq n_{0} \Rightarrow x \notin \lim_{n}\sup A_{n}$

Αν $x \in [-2,2]$ , τότε:

$x \in [-2,-1] \Rightarrow x \in A_{2n+1} \forall n \in \mathbb{N}$

$x \in [-1,1] \Rightarrow x \in A_{n} \forall n \in \mathbb{N}$

$x \in [1,2] \Rightarrow x \in A_{2n} \forall n \in \mathbb{N}$

άρα $x \in \lim_{n}\sup A_{n}$ .

$\lim_{n} \inf A_{n}= \{ x \in \mathbb{R} : x \in A_{n}$ τελικά $\} = [-1,1]$ , έλεγξε το.

Διορθώστε με για οποιοδήποτε λάθος!

$\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

$\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Re: $\lim_{n}\sup A_{n}, \lim_{n} \inf A_{n}$

Μέλη σε σύνδεση