Πρόβλημα από Abitur

#1

1. Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle f:x\to 2-\ln (x-1)$ και έστω $\displaystyle {{D}_{f}}$ το μέγιστο πεδίο ορισμού της και $\displaystyle {{G}_{f}}$ η γραφική της παράσταση .
1α) Δείξτε ότι $\displaystyle {{D}_{f}}=(1,+\infty )$ και καθορίστε τη συμπεριφορά της $\displaystyle f$ στα άκρα του $\displaystyle {{D}_{f}}$ .
1β) Υπολογίστε τα σημεία μηδενισμού της $\displaystyle f$ .
1γ) Περιγράψτε πώς η $\displaystyle {{G}_{f}}$ κατασκευάζεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : $\displaystyle x\to \ln x$ που ορίζεται στο $\displaystyle (0,+\infty )$ . Εξηγήστε κατόπιν τη μονοτονία της $\displaystyle f$ .
1δ) Δείξτε ότι η συνάρτηση $\displaystyle F:x\to 3x-(x-1)\ln (x-1)+c$ ορισμένη στο $\displaystyle (1,+\infty )$ είναι μια αρχική της $\displaystyle f$ και να βρείτε το $\displaystyle c$ , ώστε $\displaystyle F(2)=0$ .

: png.png (23.98 KiB) Προβλήθηκε 1250 φορές

2. Το σχήμα δείχνει ένα συμμετρικό εμπόδιο σε ένα πάρκο skateboard. Η εμπρός και η πίσω πλευρά είναι κάθετη προς την οριζόντια επιφάνεια. Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε μαθηματικά την επιφάνεια της μπροστινής πλευράς, επιλέγεται ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο άξονας των $\displaystyle x$ να είναι το κάτω άκρο και ο άξονας των $\displaystyle y$ να είναι ο άξονας συμμετρίας της μπροστινής πλευράς .Το τμήμα που εκτείνεται στο διάστημα $\displaystyle [-2,2]$ είναι οριζόντιο , ενώ η κάθοδος περιγράφεται από το γράφημα της συνάρτησης $\displaystyle f$ , που εξετάστηκε στο ( 1 ) , για $\displaystyle x\in (2,8]$ . Μία μονάδα μήκους στο σύστημα συντεταγμένων αντιστοιχεί με ένα μέτρο στην πραγματικότητα .
2α) Εξηγήστε τη σημασία της τιμής $\displaystyle f(2)$ στο πλαίσιο το προβλήματος και βρείτε τον τύπο της συνάρτησης $\displaystyle q$ της οποίας το γράφημα $\displaystyle {{G}_{q}}$ για $\displaystyle -8\le x\le -2$ περιγράφει την πάνω γραμμή προφίλ του εμποδίου .
2β) Βρείτε το σημείο $\displaystyle {{x}_{m}}$ στο διάστημα $\displaystyle [2,8]$ στο οποίο ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της $\displaystyle f$ είναι ίσος με τον μέσο ρυθμό μεταβολής της σε αυτό το διάστημα.
2γ) Η τιμή $\displaystyle {{x}_{m}}$ που υπολογίζεται στο (2β) θα μπορούσε εναλλακτικά να προσδιοριστεί χωρίς τη βοήθεια του Σχήματος 2. Εξηγήστε πώς θα προχωρήσετε.
2δ) Με βάση το μοντέλο, υπολογίστε το μέγεθος της γωνίας $\displaystyle \alpha$ που σχηματίζει το οριζόντιο επίπεδο και η άκρη της καμπύλης καθόδου,όπως φαίνεται στο σχήμα 2 .
2ε) Τα δύο τμήματα κάτω από τις καμπύλες στην εμπρόσθια πλευρική επιφάνεια του εμποδίου χρησιμοποιούνται ως διαφημιστικοί χώροι . Χρησιμοποιώντας την αρχική συνάρτηση $\displaystyle F$ που δίνεται στο (1δ) , υπολογίστε πόσα τετραγωνικά μέτρα είναι ο διαθέσιμος χώρος διαφήμισης.

Πρόβλημα από Abitur

Πρόβλημα από Abitur

Μέλη σε σύνδεση