Σταθερή συνάρτηση

Silver · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:[0,\pi ]\rightarrow \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει ότι $f'(\pi /2)=0$ και

f''(x)+f(x)=0

για κάθε $x\epsilon [0,\frac{\pi }{2}]$ .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)}{sinx}$ , με $x\epsilon (0,\pi)$ , είναι σταθερή.

Silver · #2

Αυτό που με προβληματίζει είναι ότι η σχέση για την

είναι στο $[0,\frac{\pi }{2}]$ ενώ για την

ζητάει να δείξουμε ότι είναι σταθερή στο $(0,\pi )$ .

#3

Silver έγραψε: Δευ Απρ 20, 2020 12:56 pm Δίνεται συνάρτηση $f:[0,\pi ]\rightarrow \mathbb{R}$ δυο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει ότι $f'(\pi /2)=0$ και

για κάθε $x\epsilon [0,\frac{\pi }{2}]$ .

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $g(x)=\frac{f(x)}{sinx}$ , με $x\epsilon (0,\pi)$ , είναι σταθερή.

H άσκηση εξαιρεί τα

και $\pi$ γιατί απλούστατα σε αυτά τα δύο σημεία δεν έχει νόημα το $\dfrac{f(x)}{\sin x}$ .

Silver · #4

Ναι καταλαβαίνω, αλλά όταν η σχέση ισχύει μόνο για $[0,\pi/2]$ εγώ πως θα το αποδείξω για $(0,\pi)$ .

#5

Silver έγραψε: Δευ Απρ 20, 2020 2:07 pm Ναι καταλαβαίνω, αλλά όταν η σχέση ισχύει μόνο για $[0,\pi/2]$ εγώ πως θα το αποδείξω για $(0,\pi)$ .

Προφανώς πρόκειται για τυπογραφικό σφάλμα, και το σωστό είναι $[0,\pi]$ . Αν δεν έχεις πληροφορία για τα

έξω από το $[0,\pi/2]$ , το συμπέρασμα δεν ισχύει για ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟΥΣ λόγους.

Είναι σαν να ρωτάς: Έχω δύο σακούλες. Η μία έχει καραμέλες. Τι έχει η άλλη;

Το ίδιο και εδώ: Η μία σακούλα είναι το $[0,\pi/2]$ και η άλλη, το συμπλήρωμά του. Τι μπορείς να πεις για την συνάρτηση στο συμπλήρωμα; Τίποτα.

Silver · #6

Ευχαριστώ πολύ! Ήθελα απλά να δω αν κρύβεται κάτι που εγώ δεν μπορώ να δω.

Silver · #7

Επίσης ένα ακόμα υποερώτημα λέει:

Αν επιπλέον ισχύει ότι:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+\alpha x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}$ όπου $\alpha \epsilon \mathbb{R}$

τότε να βρείτε τον τύπο της

.

Εδώ έχουμε κάποια συμβουλή;

#8

Silver έγραψε: Δευ Απρ 20, 2020 2:21 pm Επίσης ένα ακόμα υποερώτημα λέει:

Αν επιπλέον ισχύει ότι:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)+\alpha x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}$ όπου $\alpha \epsilon \mathbb{R}$

τότε να βρείτε τον τύπο της .

Εδώ έχουμε κάποια συμβουλή;

Αφού βρήκες ότι $f(x)=A\sin x$ , τα πράγματα είναι απλά. Τώρα το μόνο που έχεις να κάνεις είναι να βρεις το

συναρτήσει το δοθέντος

. Βάλε την παράσταση $f(x)=A\sin x$ στο όριο και κάνε l' Hosptal.

Silver · #9

Ευχαριστώ πολύ για τον χρόνο σας.

Silver · #10

Ερώτηση... Μπορώ να κάνω περισσότερα από ένα De l' Hospital;

#11

Silver έγραψε: Δευ Απρ 20, 2020 3:18 pm Ερώτηση... Μπορώ να κάνω περισσότερα από ένα De l' Hospital;

Ναι. Ο πρώτος l' Hospital θα σου δώσει A=-a

. Μετά άλλος ένας θα δώσει a=1

.

Υπόψη ότι η άσκηση λύνεται και χωρίς l' Hospital. Αν είσαι φοιτητής τότε πιο καλά χωρίς l' Hospital.

(Υπόδειξη: Θα χρειαστείς την σειρά Taylor του $\sin x$ )

Silver · #12

Ευχαριστώ πολύ!

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση