ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

SPYRIDON TZORTZIS · #1

Καλησπέρα.

Δίνεται τυχών κύκλος

και χορδές στο εσωτερικό του

και

που τέμνονται σε σημείο

σχηματίζοντας ορθή γωνία. Επίσης, AK=2

,

και

.
Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου

.

KARKAR · #2

: Ώρα.png (13.82 KiB) Προβλήθηκε 3313 φορές

SPYRIDON TZORTZIS · #3

#4

Δεν καταλαβαίνω γιατί μία τόσο απλή άσκηση μπήκε σε φάκελο καθηγητή!

SPYRIDON TZORTZIS · #5

#6

Θα συμφωνήσω απόλυτα με τον Γιώργο

george visvikis έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2020 2:04 pm
Δεν καταλαβαίνω γιατί μία τόσο απλή άσκηση μπήκε σε φάκελο καθηγητή!

Στο κάτω κάτω η λύση είναι μία γραμμή, και υπάρχει σε ΟΛΑ μα ΟΛΑ ΟΛΑ τα βιβλία Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Το σχετικό
θεώρημα (γνωστό σήμερα ως "δύναμη σημείου σε κύκλο") υπάρχει ήδη στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Η άσκηση κομίζει γλαύκαν εις Αθήνας. Και να προσθέσω ότι δεν χρειάζεται να υποθέσουμε ότι οι χορδές
είναι κάθετες μεταξύ τους.

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2020 1:45 pm
Έχω υπ' όψη μου δύο λύσεις. Αν δε δοθούν θα τις γράψω μόνος μου.

Οποιοσδήποτε Καθηγητής Μαθηματικών (υπενθυμίζω ότι η άσκηση απευθύνεται σε αυτούς) ξέρει δύο αποδείξεις
του σχετικού θεωρήματος. Η μία είναι η απόδειξη που υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη
και η άλλη είναι πιο συνηθισμένη με όμοια τρίγωνα.

Εκεί που μου την βάρεσε ήταν η διαβεβαίωση ότι "αν δεν δοθούν θα...". Σώπα.

SPYRIDON TZORTZIS · #7

#8

Ας δώσω μία λύση.

Εύκολα βρίσκω CK = 4

και με Πυθαγόρειο $BC = 2\sqrt {13} ,BD = 3\sqrt 5.$

: Γεωμ.ΣΤ..png (11.56 KiB) Προβλήθηκε 3224 φορές

$\displaystyle (CBD) = \frac{{7 \cdot 6}}{2} \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {13} \cdot 3\sqrt 5 \cdot 7}}{{4R}} = 21 \Leftrightarrow$ $\boxed{R=\frac{\sqrt{65}}{2}}$

#9

SPYRIDON TZORTZIS έγραψε: ↑
Παρ Απρ 24, 2020 3:14 pm
Ωστόσο υπάρχει μια ακόμα λύση με γεωμετρία συντεταγμένων.

Υπάρχουν πολλές λύσεις, αλλά αν θέλουμε μία με καθαρή Αναλυτική Γεωμετρία, λέμε: Με αρχή των αξόνων το K(0,0)

είναι

.

Έστω ότι ο κύκλος είναι ο (x-a)^2+(y-b)^2=R^2

. Αφού διέρχεται από τα A,B,D

έχουμε

$\displaystyle{I.\,\,\, (0-a)^2+(-2-b)^2=R^2}$

$\displaystyle{II.\,\,\, (0-a)^2+(6-b)^2=R^2}$

$\displaystyle{III.\,\,\,(3-a)^2+(0-b)^2=R^2$ .

Τώρα απλά λύνουμε το σύστημα. Στην πραγματικότητα είναι απλούστερο από ότι φαίνεται. Π.χ. η II-I

δίνει (αμέσως) 32-16b=0

, οπότε

. Όμοια η

δίνει

, που μαζί με την προηγούμενη δίνει a=-1/2

. Οι τιμές αυτές σε οποιανδήποτε δίνουν $R=\frac {1}{2} \sqrt {65}$ .

#10

Αλλιώς.

: Γεωμ.ΣΤ.2.png (15.8 KiB) Προβλήθηκε 3167 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων OMC, KDB

έχουμε $\displaystyle \frac{{\sqrt {13} }}{R} = \frac{6}{{3\sqrt 5 }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{R = \frac{{\sqrt {65} }}{2}}$

S.E.Louridas · #11

Επειδή ο εισηγητής είναι καινούργιος στη παρέα μας και προ πάντων Μαθητής, θα τον τιμήσουμε:

$\displaystyle{AD = \sqrt {13} ,DB = \sqrt {45} \Rightarrow AD \cdot DB = 3\sqrt {65} = 2 \cdot R \cdot 3 \Rightarrow R = \frac{{\sqrt {65} }}{2}.}$

SPYRIDON TZORTZIS · #12

thanasis.a · #13

Αγαπητέ μου νεαρέ φίλε(θεματοδότη),

δεν χρειάζεσαι καμμια επιείκια, γιατί απλά εδώ δεν είναι δικαστήριο. Χρειαζεται ομως να σου δοθούν συγχαρητήρια για την ενασχόλησή σου σε κάτι

σπουδαίο(γεωμετρία) , που οι συνθήκες το οδηγούν σε συρρίκνωση-εξαφάνιση.

Συνέχισε δυνατά!

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΠΕΡΑΣΕΙ Η ΩΡΑ

Μέλη σε σύνδεση