Ασκηση

stamas1 · #1

$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Η $\displaystyle g(x)$ ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με $\displaystyle g'(x)> 0$ για καθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Νδο υπαρχει $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ τετοιο ωστε $\displaystyle f(x_{0})< 0$ . Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?

miltosk · #2

stamas1 έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Η $\displaystyle g(x)$ ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με $\displaystyle g'(x)> 0$ για καθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Νδο υπαρχει $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ τετοιο ωστε $\displaystyle f(x_{0})< 0$ . Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?

Έστω $f(x)\geq 0$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .
Παρατήρησε ότι f(0)=0

(f παραγωγίσιμη ως πράξεις και σύνθεση παραγωγίσιμων κλπ). Με Fermat λοιπόν f'(0)=0

. Όμως

.
Άρα $f'(0)=g'(0)\Rightarrow g'(0)=0$ , άτοπο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

stamas1 έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Η $\displaystyle g(x)$ ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με $\displaystyle g'(x)> 0$ για καθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Νδο υπαρχει $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ τετοιο ωστε $\displaystyle f(x_{0})< 0$ . Εχω κολλήσει παιδια καμια βοήθεια ?

Το μόνο που χρειάζεται είναι ότι $\displaystyle g'(0)> 0$
και το αποτέλεσμα είναι ότι
$\displaystyle f(x)<0$ για $x\in (0,\delta )$
οπου $\delta$ είναι κατάλληλος θετικός.

Πράγματι εύκολα βλέπουμε ότι f(0)=0,f'(0)<0

Ετσι $\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)< 0$
Αρα $\displaystyle\frac{f(x)}{x}< 0$ κοντά στο

οπότε προκύπτει άμεσα.

Christos.N · #4

stamas1 έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Η $\displaystyle g(x)$ ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με $\displaystyle g'(x)> 0$ για καθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .

1)Να δείξετε ότι υπαρχει $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ τετοιο ωστε $\displaystyle f(x_{0})< 0$ .

2) Να αποδειχθεί ότι η C_f

τέμνει τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα σε ένα τουλάχιστον σημεία.

3) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in(0,1)$ όπου $f(x)\ge f(\xi)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $f\xi)<0$ .

4) Να βρεθούν τα $\underset{x\to \pm\infty}{lim} f(x)$ .

Αλλα περισσότερο με απασχόλησε ένα κάπως διερευνητικό, είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε την μονοτονία της

στο $[0,+\infty)]$ και αν όχι ποιά θα ήταν άραγε η ελάχιστη προσθήκη στα δεδομένα

Υ.Γ.:Εκανα μια διόρθωση στο ερώτημα Α απο δύο σε ένα.

Μάρκος Βασίλης · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 23, 2020 2:38 pm

stamas1 έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 21, 2020 3:34 pm
$\displaystyle f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=g(x^2)-g(x)+x^2$ για κάθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .Η $\displaystyle g(x)$ ειναι παραγωγισιμη συναρτηση με $\displaystyle g'(x)> 0$ για καθε $\displaystyle x\in \mathbb{R}$ .

1)Να δείξετε ότι υπαρχει $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ τετοιο ωστε $\displaystyle f(x_{0})< 0$ .
2) Να αποδειχθεί ότι η τέμνει τον θετικό οριζόντιο ημιάξονα σε ένα τουλάχιστον σημεία.

3) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in(0,1)$ όπου $f(x)\ge f(\xi)$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και $f\xi)<0$ .

4) Να βρεθούν τα $\underset{x\to \pm\infty}{lim} f(x)$ .

Αλλα περισσότερο με απασχόλησε ένα κάπως διερευνητικό, είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε την μονοτονία της στο $[0,+\infty)]$ και αν όχι ποιά θα ήταν άραγε η ελάχιστη προσθήκη στα δεδομένα

Υ.Γ.:Εκανα μια διόρθωση στο ερώτημα Α απο δύο σε ένα.

2) Η

είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής και f(1)=-1>0

ενώ

, άρα η

έχει μία τουλάχιστον ρίζα μεταξύ των x_0

και 1. Αρκεί να δείξουμε τώρα ότι x_0>0

. Πέρα από το πώς αυτό έχει δειχθεί παραπάνω, μπορούμε να εργαστούμε και ως εξής: Γνωρίζουμε ότι f(x_0)<0

δηλαδή:

$\displaystyle{g(x_0^2)-g(x_0)+x_0^2<0\Rightarrow g(x_0^2)-g(x_0)<0\Leftrightarrow g(x_0^2)<g(x_0)\Leftrightarrow x_0^2<x_0\Leftrightarrow x_0\in(0,1)}$

επομένως x_0>0

- χρησιμοποιήσαμε τη μονοτονία της

.

3) Παραπάνω δείξαμε ουσιαστικά ότι αναγκαία συνθήκη για να έχουμε f(x)<0

είναι να ισχύει $x\in(0,1)$ . Επομένως, για $x\not\in(0,1)$ έχουμε $f(x)\geq0$ . Τώρα, η

είναι συνεχής στο [0,1]

επομένως, από το ΘΜΕΤ, υπάρχει $\xi\in[0,1]$ τέτοιο ώστε $f(\xi)\leq f(x)$ για κάθε $x\in[0,1]$ . Ειδικότερα, για x=x_0

έχουμε $f(\xi)\le f(x_0)<0$ επομένως, από τα παραπάνω, έπεται ότι $\xi\neq0,1$ άρα $\xi\in(0,1)$ και ότι $f(x)\ge f(\xi)$ για κάθε $x\in\mathbb{R}$ .

4) Από τη μονοτονία της

έπεται ότι για x>1

ισχύει $g(x^2)>g(x)\Leftrightarrow g(x^2)-g(x)>0\Rightarrow f(x)>x^2$ . Ομοίως και για x<0

, άρα και τα δύο όρια δίνουν $+\infty$ .

Στα πιο ενδιαφέροντα, τώρα, για τη μονοτονία, νομίζω ότι δεν μπορούμε με αυτές τις υποθέσεις να βρούμε κάτι. Για παράδειγμα, αν g(x)=ax

, για

, έχουμε:

$\displaystyle{f(x)=(a+1)x^2-ax,}$

η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο $[\frac{a}{a+1},+\infty)$ και γνησίως φθίνουσα στο $[0,\frac{a}{a+1}]$ .

Ασκηση

Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Re: Ασκηση

Μέλη σε σύνδεση