Θεωρία Αριθμών

TrItOs · #1

Να βρεθούν άπειρες τριάδες ( a , b , c )

θετικών ακεραίων a , b , c

ωστε να είναι όροι αριθμητικής προόδους και οι αριθμοί ab + 1

,

και

να είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων .
Το ερώτημα μου είναι ποια είναι η ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση διότι είναι πολύ ενδιαφέρον .

bouzoukman · #2

Λοιπόν αυτό το πρόβλημα που ρωτάς έχεις πολύ ενδιαφέρον και μεγάλη ιστορία, ειδικά αν αντί για τριάδες ασχοληθείς με

-αδες. Ο Διόφαντος, αν δεν κάνω λάθος, ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με αυτό και παρόμοια προβλήματα. Υπάρχει ένας Κροάτης καθηγητής που έχει αφιερώσει την ερευνητική του καριέρα σε αυτού του είδους τα ερωτήματα, δες εδώ.

Όσο αναφορά το πρόβλημα που γράφεις δυστυχώς δεν βρήκα κάποια λύση. Το μόνο που κατάφερα να βρω στο ίντερνετ είναι το Θεώρημα 2 στο link παρακάτω.

https://www.sciencedirect.com/science/a ... 7713000669

#3

Μία προτεινόμενη ιδέα πίσω από αυτή την άσκηση είναι η εξίσωση Pell $x^2-3y^2=1 \ \ (1)$ η οποία έχει άπειρες λύσεις (x_n,y_n)

.

Τότε επιλέγοντας (a,b,c)=(2y_n-x_n,2y_n,2y_n+x_n)

παίρνουμε ότι

$ab+1=4y_n^2-2x_ny_n+1=3y_n^2+y_n^2-2x_n+1 \stackrel{(1)}{=} x_n^2-1+y_n^2-2x_ny_n+1 = (x_n-y_n)^2$

bc+1 = 4y_n^2+2x_ny_n+1= ... = (x_n+y_n)^2

$ca+1=4y_n^2-x_n^2+1=3y_n^2+y_n^2-x_n^2+1\stackrel{(1)}{=}x_n^2-1+y_n^2-x_n^2+1=y_n^2$

Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι τέλεια τετράγωνα ακεραίων.

Γενίκευση εδώ

Αλέξανδρος

Θεωρία Αριθμών

Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Re: Θεωρία Αριθμών

Μέλη σε σύνδεση