Σημεία σε δίσκο

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Σε έναν κλειστό $^{*}$ δίσκο $\Delta$ ακτίνας $\rho$ παίρνουμε

σημεία

Να αποδείξετε ότι υπάρχει $A \in \Delta$ τέτοιο, ώστε $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left | AA_k \right |\geq \rho n.$

Όταν λέμε κλειστό δίσκο εννοούμε ότι αυτός περιλαμβάνει και τα σημεία στο σύνορο του.

giannisd · #2

Καλημέρα!

Στα γρήγορα,

Έστω ένα σημείο

στην περιφέρεια και το αντιδιαμετρικό του

τέτοιο ώστε $P,P'\neq A_i$ .

Τότε από την τριγωνική ανισότητα, $PA_i+P'A_i \geq 2\rho$ , με ισότητα ανν $A_i\in PP'$ .
Άρα,
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n PA_i + \sum_{i=1}^n P'A_i \geq 2\rho n}$

Άρα για κάποιο $A \in \{P,P'\}$ το ζητούμενο ισχύει.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

giannisd έγραψε: Πέμ Ιούλ 16, 2020 9:13 am Καλημέρα!

Στα γρήγορα,

Έστω ένα σημείο στην περιφέρεια και το αντιδιαμετρικό του τέτοιο ώστε $P,P'\neq A_i$ .

Τότε από την τριγωνική ανισότητα, $PA_i+P'A_i \geq 2\rho$ , με ισότητα ανν $A_i\in PP'$ .
Άρα,
$\displaystyle{\sum_{i=1}^n PA_i + \sum_{i=1}^n P'A_i \geq 2\rho n}$

Άρα για κάποιο $A \in \{P,P'\}$ το ζητούμενο ισχύει.

Γρήγορο πιστόλι!

Σημεία σε δίσκο

Σημεία σε δίσκο

Re: Σημεία σε δίσκο

Re: Σημεία σε δίσκο

Μέλη σε σύνδεση