Ανισότητα

Filippos Athos · #1

Αν

θετικοί πραγματικοί αριθμοί και $a+b+c+2\leq abc$ να αποδείξετε ότι $abc\geq 8$

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ · #2

Θέτουμε $P=\prod a$
Από την ανισότητα του Cauchy(AM-GM)

είναι
$\sum a+2\geqslant 4\sqrt[4]{2\prod a}=4\sqrt[4]{2P}$
Άρα είναι
$P\geqslant 4\sqrt[4]{2P}\Leftrightarrow P\geqslant 2^{3}=8$
(Η ισότητα ισχύει όταν a=b=c=2

)

Filippos Athos · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΟΛΤΣΗΣ έγραψε: Κυρ Αύγ 23, 2020 1:18 pm Θέτουμε $P=\prod a$
Από την ανισότητα του είναι
$\sum a+2\geqslant 4\sqrt[4]{2\prod a}=4\sqrt[4]{2P}$
Άρα είναι
$P\geqslant 4\sqrt[4]{2P}\Leftrightarrow P\geqslant 2^{3}=8$
(Η ισότητα ισχύει όταν )

Πολύ ωραία , ας προσθέσω και εγώ την λύση μου.
Ας υποθέσουμε ότι abc< 8(1)

Απο ΑΜ-ΓΜ $abc\geq 3\sqrt[3]{abc}+2\Rightarrow (abc-2)^{3}\geq 27abc$

καθαρίζωντας την δύναμη έχουμε $(abc)^{3}-6(abc)^{2}+12abc-8\geq 27abc\Rightarrow (abc)^{3}-6(abc)^{2}-15abc\geq 8\Rightarrow abc((abc)^{2}-6abc-15)\geq 8(2)$

από το (1)

και το

, $(abc)^{2}-6abc-15> 1\Rightarrow (abc-8)(abc+2)> 0$

Που είναι προφανώς άτοπο απο το (1)

και από το γεγονός ότι a,b,c

είναι θετικοί.Άρα $abc\geq 8$

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση