Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

#1

Αν η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle R$ και ισχύει $\displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ ,
τότε το $\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}$ είναι ίσο με : $\displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1$

#2

exdx έγραψε: Πέμ Αύγ 27, 2020 7:41 pm Αν η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle R$ και ισχύει $\displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ ,
τότε το $\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}$ είναι ίσο με : $\displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1$

Mε

στην θέση του

έχουμε

$\displaystyle{-xf(-{{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}+2x}$ που με αφαίρεση κατά μέλη από την αρχική δίνει

$\displaystyle{ xf({{x}^{3}})+ xf(-{{x}^{3}}) +0 =4x}$ . Άρα για $x\ne 0$ είναι $\displaystyle{ f({{x}^{3}})+ f(-{{x}^{3}}) +0 =4}$ . Από συνέχεια ισχύει το ίδιο και για x=0

.

Αφού η x^3

είναι 1-1 και επί, έπεται $\displaystyle{ f(x)+ f(-x) =4}$ .

Τώρα, με πολλαπλασιασμό επί

και ολοκλήρωση, η σχέση δίνει

$\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}x^2f({{x}^{3}})dx+\int\limits_{-1}^{0}xf(1-{{x}^{2}})dx=\int\limits_{-1}^{0}(-{{x}^{11}}+{{x}^{7}}-2x^2)dx$ ίσον γνωστό.

Στο πρώτο η αλλαγή μεταβλητής x^3=t

δίνει

$\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}x^2f({{x}^{3}})dx = \frac {1}{3} \int\limits_{-1}^{0}f(t)dt= \frac {1}{3}I$

Στο δεύτερο η αλλαγή μεταβλητής 1-x^2=t

δίνει

$\displaystyle{ \int\limits_{-1}^{0}xf(1-{{x}^{2}})dx= +\frac {1}{2} \int _0^1f(t) dt= \frac {1}{2} \int _0^1(4-f(-t)) dt = 2-\frac {1}{2}\int _0^1 f(-t)dt=}$

$\displaystyle{=2-\frac {1}{2}\int _0^1 f(-t)dt=+\frac {1}{2}\int _{-1}^0 f(s)ds = \frac {1}{2}I}$ , και λοιπά (ελπίζω να έκανα σωστά όλες τις πράξεις).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

exdx έγραψε: Πέμ Αύγ 27, 2020 7:41 pm Αν η $\displaystyle f$ είναι συνεχής στο $\displaystyle R$ και ισχύει $\displaystyle xf({{x}^{3}})+f(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{10}}+{{x}^{6}}-2x$ , για κάθε $\displaystyle x\in R$ ,
τότε το $\displaystyle \int\limits_{-1}^{0}{f(x)dx}$ είναι ίσο με : $\displaystyle A.\,\,\,-\frac{17}{20}\,\,\,\,\,\,\,\,B.\,\,\,-\frac{13}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,C.\,\,\frac{17}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,D.\,\,-1$

Το αποτέλεσμα είναι $-\frac{13}{4}$ .
Λίγο διαφορετικά από τον Μιχάλη.
Γράφουμε την σχέση

$\displaystyle x^2f({{x}^{3}})+xf(1-{{x}^{2}})=-{{x}^{11}}+{{x}^{7}}-2x^2$

Αν ολοκληρώσουμε από

εως

τότε παρουσιάζονται τα

$\displaystyle \int_{-1}^{0}f(t)dt,\int_{0}^{1}f(t)dt$

Αν ολοκληρώσουμε από

εως

τότε παρουσιάζεται το

$\displaystyle \int_{0}^{1}f(t)dt$

Ετσι υπολογίζουμε και τα δύο.

Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

Re: Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

Re: Ολοκλήρωμα από συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση